《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 3】已知 $ p:-2\leqslant x\leqslant 10 $，$ q:1 - m\leqslant x\leqslant 1 + m $（$ m ＞ 0 $），若 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 解　p： - 2≤x≤10，q：1 - m≤x≤1 + m(m＞0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1 - m≤x≤1 + m}⊆{x| - 2≤x≤10}，故有$\begin{cases}1 - m≥ - 2,\\1 + m$＜10\end{cases}或\begin{cases}1 - m＞$ - 2,\\1 + m≤10,\end{cases}$解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.

【跟踪训练 3】(1) 设集合 $ A = \{x|x^{2}+x - 6 = 0\} $，$ B = \{x|mx - 2 = 0\} $，则 $ B $ 是 $ A $ 的真子集的一个充分不必要条件是(B)

A.$ m\in\left\{0,\frac{2}{3}\right\} $
B.$ m\in\left\{0,-\frac{2}{3}\right\} $
C.$ m\in\left\{0,-\frac{2}{3},1\right\} $
D.$ m\in\left\{0,\frac{2}{3},1\right\} $

答案： $(1)B A = {x|x^2 + x - 6 = 0} = {2, - 3}，$若m = 0，则B = ∅，B⊆A，若m = 1，则B = {2}⊆A，若$m = - \frac{2}{3}，$则B = { - 3}⊆A，
∴B⊆A的一个充分不必要条件是$m∈{0, - \frac{2}{3}}.$

(2) 在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的 $ a $ 存在，求 $ a $ 的取值集合 $ M $，若问题中的 $ a $ 不存在，说明理由.

答案：
(2)解　由题意知A = {x|0≤x≤4}，若选①，则A是B的真子集，所以1 - a≤0且1 + a≥4(两等号不能同时取得)，又a＞0，解得a≥3，所以a存在，且a的取值集合M = {a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，所以1 - a≥0且1 + a≤4(两等号不能同时取得)，又a＞0，解得0＜a≤1，所以a存在，且a的取值集合M = {a|0＜a≤1}.
若选③，则A = B，所以1 - a = 0且1 + a = 4，又a＞0，方程组无解，所以不存在满足条件的A.

问题：已知集合 $ A = \{x|0\leqslant x\leqslant 4\} $，集合 $ B = \{x|1 - a\leqslant x\leqslant 1 + a\} $（$ a ＞ 0 $），是否存在实数 $ a $，使得 $ x\in A $ 是 $ x\in B $ 成立的 ？

答案： 解　由题意知A = {x|0≤x≤4}，若选①，则A是B的真子集，所以1 - a≤0且1 + a≥4(两等号不能同时取得)，又a＞0，解得a≥3，所以a存在，且a的取值集合M = {a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，所以1 - a≥0且1 + a≤4(两等号不能同时取得)，又a＞0，解得0＜a≤1，所以a存在，且a的取值集合M = {a|0＜a≤1}.
若选③，则A = B，所以1 - a = 0且1 + a = 4，又a＞0，方程组无解，所以不存在满足条件的A.

1. “$ x ＞ 0 $”是“$ x\neq 0 $”的(A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.A 由“x＞0”⇒“x≠0”，反之不一定成立.因此“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件.

2. “$ x^{2}-4x - 5 = 0 $”是“$ x = 5 $”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.B 由$x^2 - 4x - 5 = 0$得x = 5或x = - 1，则当x = 5时，$x^2 - 4x - 5 = 0$成立，但当$x^2 - 4x - 5 = 0$时，x = 5不一定成立.因此$“x^2 - 4x - 5 = 0”$是“x = 5”的必要不充分条件.

3. 明代罗贯中《三国演义》第 49 回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件. 你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.B “东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.

4. 函数 $ y = x^{2}+mx + 1 $ 的图象关于直线 $ x = 1 $ 对称的充要条件是$m = - 2$ 。

答案： 4.m = - 2 函数$y = x^2 + mx + 1$的图象关于直线x = 1对称，则$ - \frac{m}{2} = 1，$即m = - 2；反之，若m = - 2，则$y = x^2 - 2x + 1$的图象关于直线x = 1对称.