《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 4】你能写出基本不等式及其几种变形吗？

答案： 提示 当$a＞0,b＞0$时，有①$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}$；②$ab\leqslant(\frac{a+b}{2})^{2}$；③$a+b\geqslant2\sqrt{ab}$.由此我们发现若两个正数的和为定值，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值，我们可以求这两个数和的最小值.

已知 $x$，$y$ 都为正数，则：(1)如果积 $xy$ 等于定值 $P$，那么当 $x = y$ 时，和 $x + y$ 有最小值$2\sqrt{P}$；(2)如果和 $x + y$ 等于定值 $S$，那么当 $x = y$ 时，积 $xy$ 有最大值$\frac{1}{4}S^{2}$，简记为：积定和最小，和定积最大.

答案：
(1)$2\sqrt{P}$
(2)$\frac{1}{4}S^{2}$小 大

【例 2】已知 $x ＞ 0$，求 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值.

答案： 解 因为$x＞0$，所以$x+\frac{4}{x}\geqslant2\sqrt{x·\frac{4}{x}}=4$，
当且仅当$x=\frac{4}{x}$，即$x=2$时等号成立，因此所求的最小值为4.

【跟踪训练 2】(1)已知 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，则 $\frac{3y}{x} + \frac{12x}{y}$ 的最小值为(B)

A.15
B.12
C.8
D.6

答案：
(1)$B$ 由基本不等式可知$\frac{3y}{x}+\frac{12x}{y}\geqslant2\sqrt{\frac{3y}{x}·\frac{12x}{y}}=12$，
当且仅当$\frac{3y}{x}=\frac{12x}{y}$，即$y=2x$时，等号成立，则$\frac{3y}{x}+\frac{12x}{y}$的最小值为12.

(2)若 $0 ＜ a ＜ 2$，则 $\sqrt{(2 - a)a}$ 的最大值为1.

答案：
(2)1 当$0＜a＜2$时，$2-a＞0$，
则$\sqrt{(2-a)a}\leqslant\frac{(2-a)+a}{2}=1$，
当且仅当$2-a=a$，即$a=1$时，等号成立.

【例 3】(1)设 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且 $x + y = 18$，则 $xy$ 的最大值为(C)

A.80
B.77
C.81
D.82

答案：
(1)$C$ 因为$x＞0,y＞0$，所以$\sqrt{xy}\leqslant\frac{x+y}{2}$，
即$xy\leqslant(\frac{x+y}{2})^{2}=81$，当且仅当$x=y=9$时，等号成立，即$(xy)_{\max}=81$.

(2)若 $m ＞ 0$，$n ＞ 0$，$mn = 81$，则 $m + n$ 的最小值是(D)

A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.9
D.18

答案：
(2)$D$ 因为$m＞0,n＞0,mn=81$，所以$m+n\geqslant2\sqrt{mn}=18$，当且仅当$m=n=9$时，等号成立，故$m+n$的最小值是18.

【跟踪训练 3】(1)已知正数 $a$，$b$ 满足 $ab = 8$，则 $a + 2b$ 取得最小值时 $a$，$b$ 的值分别为(D)

A.2，2
B.2，4
C.4，4
D.4，2

答案：
(1)$D$ 因为$a＞0,b＞0$，
所以$a+2b\geqslant2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2×8}=8$，
当且仅当$\begin{cases}ab=8\\a=2b\end{cases}$，即$\begin{cases}a=4\\b=2\end{cases}$时，等号成立，即$a+2b$取得最小值8，所以$a+2b$取得最小值时$a$，$b$的值分别为4,2.

(2)已知 $0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$，则 $y = x(1 - 2x)$ 的最大值为$\frac{1}{8}$.

答案：
(2)$\frac{1}{8}$ 由题意知$1-2x＞0$，则$y=x(1-2x)=\frac{1}{2}×2x×(1-2x)\leqslant\frac{1}{2}(\frac{2x+1-2x}{2})^{2}=\frac{1}{8}$，
当且仅当$2x=1-2x$，即$x=\frac{1}{4}$时，等号成立.
所以$y$的最大值为$\frac{1}{8}$.