《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例1】 求下列三角函数的最小正周期：
(1)$y = 7\sin x,x\in\mathbf{R}$；
(2)$y=\sin2x,x\in\mathbf{R}$；
(3)$y=\sin\left(\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{4}\right),x\in\mathbf{R}$；
(4)$y = |\cos x|,x\in\mathbf{R}$。

答案：
解
(1)因为$7\sin(x + 2\pi) = 7\sin x$，由周期函数的定义知，$y = 7\sin x$的周期为$2\pi$。
(2)因为$\sin[2(x + \pi)] = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x$，由周期函数的定义知，$y = \sin 2x$的周期为$\pi$。
(3)因为$\sin\left[ \frac{1}{3}(x + 6\pi) - \frac{\pi}{4} \right] = \sin\left( \frac{1}{3}x + 2\pi - \frac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \frac{1}{3}x - \frac{\pi}{4} \right)$，由周期函数的定义知，$y = \sin\left( \frac{1}{3}x - \frac{\pi}{4} \right)$的周期为$6\pi$。
(4)$y = |\cos x|$的图象如图(实线部分)所示。

由图象可知，$y = |\cos x|$的周期为$\pi$。

求下列三角函数的最小正周期：
(1)$y = |\sin x|$；
(2)$y=\cos4x$；
(3)$y = 3\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}\right)$；
(4)$y = 2\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$。

答案： 解
(1)由$y = |\sin x|$，$f(x + \pi) = |\sin(x + \pi)| = | - \sin x| = |\sin x| = f(x)$，得$f(x) = |\sin x|$的最小正周期为$\pi$（或通过图象判断）。
(2)由$y = \cos 4x$，$T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。
(3)由$y = 3\sin\left( \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4} \right)$，$T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$。
(4)由$y = 2\cos\left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)$，$T = \frac{2\pi}{|\omega|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$。

【问题2】 继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？

答案： 提示 正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于$y$轴对称。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

答案： 奇函数 偶函数

【例2】 判断下列函数的奇偶性。
(1)$f(x)=\sin\left(\frac{3}{4}x+\frac{3\pi}{2}\right)$；
(2)$f(x)=|\sin x|+\cos x$；
(3)$f(x)=x^{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$。

答案： 解
(1)$f(x) = \sin\left( \frac{3}{4}x + \frac{3\pi}{2} \right) = - \cos\frac{3}{4}x$，$x \in \mathbf{R}$。
因为$\forall x \in \mathbf{R}$，都有$- x \in \mathbf{R}$，
又$f( - x) = - \cos\left( - \frac{3}{4}x \right) = - \cos\frac{3}{4}x = f(x)$，
所以函数$f(x) = \sin\left( \frac{3}{4}x + \frac{3\pi}{2} \right)$是偶函数。
(2)函数$f(x) = |\sin x| + \cos x$的定义域为$\mathbf{R}$，
因为$\forall x \in \mathbf{R}$，都有$- x \in \mathbf{R}$，
又$f( - x) = |\sin( - x)| + \cos( - x) = | - \sin x| + \cos x = |\sin x| + \cos x = f(x)$，
所以函数$f(x) = |\sin x| + \cos x$是偶函数。
(3)$f(x) = x^{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = - x^{2}\sin x$，$x \in \mathbf{R}$，
因为$\forall x \in \mathbf{R}$，都有$- x \in \mathbf{R}$，
又$f( - x) = - ( - x)^{2}\sin( - x) = - x^{2}( - \sin x) = - ( - x^{2}\sin x) = - f(x)$，
所以函数$f(x) = x^{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{2} \right)$为奇函数。