《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 2】已知关于$x$的不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$的解集为$\{x|2 ＜ x ＜ 3\}$，求关于$x$的不等式$cx^2 + bx + a ＜ 0$的解集.

答案：
由不等式$ax² + bx + c＞0$的解集为$\{x|2＜x＜3\}$可知$a＜0$，且$2$和$3$是方程$ax² + bx + c = 0$的两根，
由根与系数的关系可知$\frac{b}{a}=-5$，$\frac{c}{a}=6$。
故$\frac{b}{c}=-\frac{5}{6}$，
又由$a＜0$知$c＜0$，故不等式$cx² + bx + a＜0$，
即$x² + \frac{b}{c}x + \frac{a}{c}＞0$，即$x² - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6}＞0$；
解得$x＜\frac{1}{3}$或$x＞\frac{1}{2}$，
所以不等式$cx² + bx + a＜0$的解集为$\{x|x＜\frac{1}{3}$或$x＞\frac{1}{2}\}$。

已知关于$x$的不等式$x^2 + ax + b ＜ 0$的解集为$\{x|1 ＜ x ＜ 2\}$，求关于$x$的不等式$bx^2 + ax + 1 ＞ 0$的解集.

答案：
∵$x² + ax + b＜0$的解集为$\{x|1＜x＜2\}$，
∴方程$x² + ax + b = 0$的两根为$1$，$2$。
由根与系数的关系得$\begin{cases}-a = 1 + 2 \\ b = 1×2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 3 \\ b = 2 \end{cases}$，
代入所求不等式，得$2x² - 3x + 1＞0$。
解得$x＜\frac{1}{2}$或$x＞1$，
∴$bx² + ax + 1＞0$的解集为$\{x|x＜\frac{1}{2}$或$x＞1\}$。

【例 3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）$s\ m$和汽车刹车前的车速$x\ km/h$有如下关系：$s = - 2x + \frac{1}{18}x^2$. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于$22.5\ m$，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？45km/h

答案： 由题意可得$s = - 2x + \frac{1}{18}x²≥22.5$，
化简得$x² - 36x - 405≥0$，解得$x≥45$或$x≤ - 9$，
又
∵$x≥0$，
∴$x≥45$。
∴这辆汽车刹车前的车速至少为$45km/h$。

某施工单位在对一个长$800\ m$，宽$600\ m$的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.

答案：
设花坛的宽度为$x m$，则草坪的长为$(800 - 2x)m$，宽为$(600 - 2x)m$。
根据题意得$(800 - 2x)(600 - 2x)≥\frac{1}{2}×800×600$，
整理得$x² - 700x + 60000≥0$，$0＜x＜300$，
解得$x≥600$（舍去）或$x≤100$，
由题意知$x＞0$，所以$0＜x≤100$，
所以当$x$在$0＜x≤100$之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一。