《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元?最大利润为多少?

答案： 解　设售价为$x$元，单个涨价$(x - 50)$元，销量减少$10(x - 50)$个，
销量为$500 - 10(x - 50)=(1000 - 10x)$个，
则$y=(x - 40)(1000 - 10x)=-10(x - 70)^{2}+9000$.
故当$x=70$时，$y_{max}=9000$.
即售价为70元时，利润最大，最大利润为9000元.

1. 设函数$f ( x )$的定义域为$\mathbf { R }$，以下三种说法：①若存在常数$M$，使得对任意$x \in \mathbf { R }$，有$f ( x ) \leq M$，则$M$是$f ( x )$的最大值；②若存在$x _ { 0 } \in \mathbf { R }$，使得对任意$x \in \mathbf { R }$，有$f ( x ) \leq f ( x _ { 0 } )$，则$f ( x _ { 0 } )$是$f ( x )$的最大值；③若存在$x _ { 0 } \in \mathbf { R }$，使得对任意$x \in \mathbf { R }$，且$x \neq x _ { 0 }$，有$f ( x ) \leq f ( x _ { 0 } )$，则$f ( x _ { 0 } )$是$f ( x )$的最大值.其中正确说法的个数为(C)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.C　由函数最大值的概念知②③正确.

2. 下列函数在$[ 1, 4 ]$上最大值为3的是(A)

A.$y = \dfrac { 1 } { x } + 2$
B.$y = 3 x - 2$
C.$y = x ^ { 2 }$
D.$y = 1 - x$

答案： 2.A　选项B,C在$[1,4]$上均单调递增，选项A,D在$[1,4]$上均单调递减，代入端点值，可知A正确.

3. 函数$y = x ^ { 2 } - 2 x$，$x \in [ 0, 3 ]$的值域为(D)

A.$[ 0, 3 ]$
B.$[ - 1, 0 ]$
C.$[ - 1, + \infty )$
D.$[ - 1, 3 ]$

答案： 3.D　$\because$函数$y=x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1,x\in[0,3]$，$\therefore$当$x=1$时，函数$y$取得最小值为$-1$，当$x=3$时，函数$y$取得最大值为3，故函数的值域为$[-1,3]$.

4. 用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为3m.

答案： 4.3　设隔墙长度为$x$m，场地面积为$S$m²，则$S=x·\frac{24 - 4x}{2}=12x - 2x^{2}=-2(x - 3)^{2}+18$.
所以当$x=3$时，$S$有最大值.