《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 下列不等式①$x^{2}＞0$;②$-x^{2}-x\leq5$;③$ax^{2}＞2$;④$x^{3}+5x-6＞0$;⑤$mx^{2}-5y＜0$;⑥$ax^{2}+bx+c＞0$.其中是一元二次不等式的有(D)

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

答案： 1.D 根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．

2. 不等式$9x^{2}+6x+1\leq0$的解集是(D)

A.$\{x|x≠-\frac{1}{3}\}$
B.$\{x|-\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{3}\}$
C.$\varnothing$
D.$\{x|x=-\frac{1}{3}\}$

答案： 2.D 原不等式可化为$(3x + 1)^{2} \leq 0$，
令$3x + 1 = 0$，解得$x = - \frac{1}{3}$．

3. 不等式$3+5x-2x^{2}\leq0$的解集为(C)

A.$\{x|x＞3$或$x＜-\frac{1}{2}\}$
B.$\{x|-\frac{1}{2}\leq x\leq3\}$
C.$\{x|x\geq3$或$x\leq-\frac{1}{2}\}$
D.$\mathbf{R}$

答案： 3.C $3 + 5x - 2x^{2} \leq 0 \Rightarrow 2x^{2} - 5x - 3 \geq 0$
$\Rightarrow (x - 3)(2x + 1) \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$或$x \leq - \frac{1}{2}$

4. 若$0＜m＜1$,则不等式$(x-m)(x-\frac{1}{m})＜0$的解集为$\{ x\mid m ＜ x ＜ \frac{1}{m}\}$.

答案： 4.$\{ x\mid m ＜ x ＜ \frac{1}{m}\}\because 0 ＜ m ＜ 1$，$\therefore \frac{1}{m} ＞ 1 ＞ m$，
故原不等式的解集为$\{ x\mid m ＜ x ＜ \frac{1}{m}\}$．

【问题】$\frac{x - 3}{x + 2} ＞ 0$与$(x - 3)(x + 2) ＞ 0$等价吗？$\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0$与$(x - 3)(x + 2) \geq 0$等价吗？

答案： 提示　$\frac{x - 3}{x + 2}＞0$与$(x - 3)(x + 2)＞0$等价；$\frac{x - 3}{x + 2}≥0$与$(x - 3)(x + 2)≥0$不等价，前者的解集中没有$-2$，后者的解集中有$-2$。

【例 1】解下列不等式：
(1)$\frac{x + 1}{2x - 1} ＜ 0$；
(2)$\frac{1 - x}{3x + 5} \geq 0$；
(3)$\frac{x - 1}{x + 2} ＞ 1$.

答案：
(1)原不等式可化为$(x + 1)(2x - 1)＜0$，
∴$-1＜x＜\frac{1}{2}$，
故原不等式的解集为$\{x|-1＜x＜\frac{1}{2}\}$。
(2)原不等式可化为$\frac{x - 1}{3x + 5}≤0$，
∴$\begin{cases}(x - 1)(3x + 5)≤0 \\ 3x + 5≠0 \end{cases}$，即$-\frac{5}{3}≤x≤1$，
又$x≠-\frac{5}{3}$，即$-\frac{5}{3}＜x≤1$。
故原不等式的解集为$\{x|-\frac{5}{3}＜x≤1\}$。
(3)原不等式可化为$\frac{x - 1}{x + 2}-1＞0$，
∴$\frac{x - 1 - (x + 2)}{x + 2}＞0$，即$\frac{-3}{x + 2}＞0$，
则$x＜ - 2$。
故原不等式的解集为$\{x|x＜ - 2\}$。

解下列不等式：
(1)$\frac{x + 1}{x - 3} \geq 0$；
(2)$\frac{5x + 1}{x + 1} ＜ 3$.

答案：
(1)不等式$\frac{x + 1}{x - 3}≥0$可转化成不等式组$\begin{cases}(x + 1)(x - 3)≥0 \\ x≠3 \end{cases}$，
解得$x≤ - 1$或$x＞3$。
即原不等式的解集为$\{x|x≤ - 1$或$x＞3\}$。
(2)不等式$\frac{5x + 1}{x + 1}＜3$可改写为$\frac{5x + 1}{x + 1}-3＜0$，
即$\frac{2(x - 1)}{x + 1}＜0$。
可将这个不等式转化成$2(x - 1)(x + 1)＜0$，
解得$-1＜x＜1$。
所以原不等式的解集为$\{x|-1＜x＜1\}$。