《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

解下列不等式:
(1)$x^{2}-5x-6＞0$;
(2)$(2-x)(x+3)＜0$.

答案： 解
(1)方程$x^{2} - 5x - 6 = 0$的两根为$x_{1} = - 1$，$x_{2} = 6$．
结合二次函数$y = x^{2} - 5x - 6$的图象知，原不等式的解集为$\{ x\mid x ＜1$，或$x ＞ 6\}$．
(2)原不等式可化为$(x - 2)(x + 3) ＞ 0$．
方程$(x - 2)(x + 3) = 0$的两根为$x_{1} = 2$，$x_{2} = - 3$．
结合二次函数$y = (x - 2)(x + 3)$的图象知，原不等式的解集为$\{ x\mid x＜ - 3$，或$x ＞ 2\}$．

【例3】 解关于$x$的不等式$ax^{2}-2\geq2x-ax(x\in\mathbf{R})$.

答案： 解 原不等式可化为$ax^{2} + (a - 2)x - 2 \geq 0$．
①当$a = 0$时，原不等式化为$x + 1 \leq 0$，解得$x \leq - 1$．
②当$a ＞ 0$时，原不等式化为$(x - \frac{2}{a})(x + 1) \geq 0$，解得$x \geq \frac{2}{a}$或$x \leq1$．
③当$a ＜ 0$，原不等式化为$(x - \frac{2}{a})(x + 1) \leq 0$．
当$\frac{2}{a} ＞ - 1$，即$a ＜ - 2$时，解得$- 1 \leq x \leq \frac{2}{a}$；
当$\frac{2}{a} = - 1$，即$a = - 2$时，解得$x = - 1$；
当$\frac{2}{a} ＜ - 1$，即$- 2 ＜ a ＜ 0$时，解得$\frac{2}{a} \leq x \leq1$；
综上所述，当$a = 0$时，不等式的解集为$\{ x\mid x \leq - 1\}$；
当$a ＞ 0$时，不等式的解集为$\{ x\mid x \geq \frac{2}{a}$，或$x \leq1\}$；
当$- 2 ＜ a ＜ 0$时，不等式的解集为$\{ x\mid\frac{2}{a} \leq x \leq1\}$；
当$a = - 2$时，不等式的解集为$\{ - 1\}$；
当$a ＜ - 2$时，不等式的解集为$\{ x\mid - 1 \leq x \leq \frac{2}{a}\}$；

解关于$x$的不等式$x^{2}-(3a-1)x+(2a^{2}-2)＞0$.

答案： 解 原不等式可化为$[x - (a + 1)][x - 2(a - 1)] ＞ 0$，
讨论$a + 1$与$2(a - 1)$的大小．
当$a + 1 ＞ 2(a - 1)$，即$a ＜ 3$时，不等式的解为$x ＞ a + 1$或$x ＜ 2(a - 1)$；
当$a + 1 = 2(a - 1)$，即$a = 3$时，不等式的解为$x \neq 4$；
当$a + 1 ＜ 2(a - 1)$，即$a ＞ 3$时，不等式的解为$x ＞ 2(a - 1)$或$x ＜a + 1$，
综上，当$a ＜ 3$时，不等式的解集为$\{ x\mid x ＞ a + 1$或$x ＜ 2(a - 1)\}$；
当$a = 3$时，不等式的解集为$\{ x\mid x \neq 4\}$；
当$a ＞ 3$时，不等式的解集为$\{ x\mid x ＞ 2(a - 1)$，或$x ＜ a + 1\}$．