《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 2】(1) 解不等式 $(\frac{1}{2})^{3x - 1} \leq 2$；

答案： 解
(1)$\because2 = (\frac{1}{2})^{-1}$，
$\therefore$原不等式可以转化为$(\frac{1}{2})^{3x - 1}\leq(\frac{1}{2})^{-1}$。
$\because y = (\frac{1}{2})^{x}$在R上是减函数，
$\therefore3x - 1\geq - 1$，$\therefore x\geq0$，
故原不等式的解集是$\{x|x\geq0\}$。

(2) 已知 $a^{x^{2}-3x + 1} ＜ a^{x + 6}(a ＞ 0,a \neq 1)$，求 $x$ 的取值范围.

答案：
(2)分情况讨论：①当$0＜a＜1$时，函数$f(x)=a^{x}(a＞0,a\neq1)$在R上是减函数，
$\therefore x^{2}-3x + 1＞x + 6$，$\therefore x^{2}-4x - 5＞0$，
解得$x＜-1$或$x＞5$；
②当$a＞1$时，函数$f(x)=a^{x}(a＞0,a\neq1)$在R上是增函数，
$\therefore x^{2}-3x + 1＜x + 6$，
$\therefore x^{2}-4x - 5＜0$，解得$-1＜x＜5$，
综上所述，当$0＜a＜1$时，$x$的取值范围是$\{x|x＜-1或x＞5\}$；
当$a＞1$时，$x$的取值范围是$\{x|-1＜x＜5\}$。

【例 3】函数 $f(x) = (\frac{1}{2})^{x}$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最小值是(B)

A.$-\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$-4$
D.$4$

答案： 【例 3】 B

(1) 求下列函数的定义域：
① $y = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{x}}$；
② $y = \sqrt{2^{x} - 1}$.

答案：
(1)解 ①由题意知$1 - (\frac{1}{2})^{x}\geq0$，$\therefore(\frac{1}{2})^{x}\leq1 = (\frac{1}{2})^{0}$，
$\therefore x\geq0$，$\therefore$函数$y = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{x}}$的定义域为$[0,+\infty)$。
②由$2^{x}-1\geq0$解得$x\geq0$，
$\therefore$函数$y = \sqrt{2^{x}-1}$的定义域是$[0,+\infty)$。

(2) 不等式 $2^{3 - 2x} ＜ 0.5^{3x - 4}$ 的解集为$\{x|x＜1\}$.

答案：
(2)$\{x|x＜1\}$ 原不等式可化为$2^{3 - 2x}＜2^{4 - 3x}$，
因为函数$y = 2^{x}$是R上的增函数，
所以$3 - 2x＜4 - 3x$，解得$x＜1$，则不等式的解集为$\{x|x＜1\}$。

若 $2^{x^{2}+1} \leq (\frac{1}{4})^{x - 2}$，则函数 $y = 2^{x}$ 的值域是(B)

A.$[\frac{1}{8},2)$
B.$[\frac{1}{8},2]$
C.$(-\infty,\frac{1}{8}]$
D.$[2,+\infty)$

答案： 【跟踪训练3】 B 由$2^{x^{2}+1}\leq(\frac{1}{4})^{x - 2}=2^{4 - 2x}$得，
$x^{2}+1\leq4 - 2x$，解得$-3\leq x\leq1$，所以$2^{-3}\leq2^{x^{2}}\leq2$，
即函数$y = 2^{x}$的值域是$[\frac{1}{8},2]$。