《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 3】中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为 500 万元，每生产 $ x $ 台需要另投入成本 $ C(x) $(万元)。当年产量不足 80 台时，$ C(x)=\frac{1}{2}x^2 + 40x $，当年产量不小于 80 台时，$ C(x)=101x + \frac{8100}{x} - 2180 $，若每台设备售价为 100 万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完。
(1)求年利润 $ y $(万元)关于年产量 $ x $(台)的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润。

答案： [例3] 解
(1)当$0\lt x\lt80$时，$y = 100x - \left(\frac{1}{2}x^2 + 40x\right)-500=-\frac{1}{2}x^2 + 60x - 500$；
当$x\geq80$时，$y = 100x - \left(101x+\frac{8100}{x}-2180\right)-500 = 1680 - \left(x+\frac{8100}{x}\right)$，于是
$y=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2 + 60x - 500, & 0\lt x\lt80 \\1680 - \left(x+\frac{8100}{x}\right), & x\geq80\end{cases}$
(2)由
(1)可知当$0\lt x\lt80$时，$y=-\frac{1}{2}(x - 60)^2 + 1300$，
当$x = 60$时，$y$取得最大值为1300；
当$x\geq80$时，$y = 1680 - \left(x+\frac{8100}{x}\right)\leq1680 - 2\sqrt{x·\frac{8100}{x}} = 1500$，
当且仅当$x=\frac{8100}{x}$，即$x = 90$时，$y$取最大值为1500.
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元.

经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间 $ t $(天)的函数，且日销售量近似满足 $ g(t)=80 - 2t $，价格近似满足 $ f(t)=\begin{cases}15 + \frac{1}{2}t, & 0\leq t\leq 10, \\ 25 - \frac{1}{2}t, & 10 ＜ t\leq 20.\end{cases} $
(1)试写出该种商品的日销售额 $ y $ 与时间 $ t $($ 0\leq t\leq 20 $)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额 $ y $ 的最大值与最小值。

答案： [跟踪训练3] 解
(1)由已知得，
$y=\begin{cases}(15+\frac{1}{2}t)(80 - 2t), & 0\leq t\leq10 \\(25 - \frac{1}{2}t)(80 - 2t), & 10\lt t\leq20\end{cases}$
$=\begin{cases}(t + 30)(40 - t), & 0\leq t\leq10 \\(50 - t)(40 - t), & 10\lt t\leq20\end{cases}$
$=\begin{cases}-t^2 + 10t + 1200, & 0\leq t\leq10 \\t^2 - 90t + 2000, & 10\lt t\leq20\end{cases}$
(2)由
(1)知，①当$0\leq t\leq10$时，
$y=-t^2 + 10t + 1200=-(t - 5)^2 + 1225$，
函数图象开口向下，对称轴为$t = 5$，该函数在$t\in[0,5]$上单调递增，在$t\in(5,10]$上单调递减，
$\therefore y_{max}=1225$(当$t = 5$时取得)，$y_{min}=1200$(当$t = 0$或$10$时取得)；
②当$10\lt t\leq20$时，$y=t^2 - 90t + 2000=(t - 45)^2 - 25$，
函数图象开口向上，对称轴为$t = 45$，
该函数在$t\in(10,20]$上单调递减，
$\therefore y\lt1200$，$y_{min}=600$(当$t = 20$取得).
由①②知$y_{max}=1225$(当$t = 5$时取得)，$y_{min}=600$(当$t = 20$取得).