《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 2】对于问题 1 中的集合 A 与集合 B，你能用集合 D 表示两次进货一样的品种吗？并讨论集合 A，B 与集合 D 的关系。

答案： 提示 由A={圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，
B={圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}知，集合D={圆珠笔，方便面}，
可见，集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.

答案： 所有 交集 $\{x \mid x \in A,且x \in B\}$

【例 2】(1)若集合 $ A = \{ x | - 5 ＜ x ＜ 2 \} $，$ B = \{ x | - 3 ＜ x ＜ 3 \} $，则 $ A \cap B $ 等于(A)

A.$ \{ x | - 3 ＜ x ＜ 2 \} $
B.$ \{ x | - 5 ＜ x ＜ 2 \} $
C.$ \{ x | - 3 ＜ x ＜ 3 \} $
D.$ \{ x | - 5 ＜ x ＜ 3 \} $

答案：

(1) A 在数轴上将集合 A，B 表示出
来，如图所示，由交集的定义可得$A \cap B$为图
中阴影部分，即$A \cap B = \{x \mid -3 ＜ x ＜ 2\}$.

(2)若集合 $ M = \{ x | - 2 \leq x ＜ 2 \} $，$ N = \{ 0, 1, 2 \} $，则 $ M \cap N $ 等于(D)

A.$ \{ 0 \} $
B.$ \{ 1 \} $
C.$ \{ 0, 1, 2 \} $
D.$ \{ 0, 1 \} $

答案：
(2) D $M = \{x \mid -2 \leq x ＜ 2\}$，$N = \{0,1,2\}$，则$M \cap N = \{0,1\}$.

(1)若集合 $ M = \{ x | 0 \leq x ＜ 4 \} $，$ N = \{ x | 3x \geq 2 \} $，则 $ M \cap N $ 为(D)

A.$ \left\{ x \left| 0 \leq x ＜ \frac { 2 } { 3 } \right. \right\} $
B.$ \{ x | 0 \leq x ＜ 4 \} $
C.$ \left\{ x \left| \frac { 2 } { 3 } \leq x ＜ 2 \right. \right\} $
D.$ \left\{ x \left| \frac { 2 } { 3 } \leq x ＜ 4 \right. \right\} $

答案：
(1)D $M = \{x \mid 0 \leq x ＜ 4\}$，$N = \{x \mid 3x \geq 2\} = \{x \mid x \geq \frac{2}{3}\}$
所以$M \cap N = \{x \mid 0 \leq x ＜ 4\} \cap \{x \mid x \geq \frac{2}{3}\} = \{x \mid \frac{2}{3} \leq x ＜ 4\}$.

(2)设平面内直线 a 上点的集合为 A，直线 b 上点的集合为 B，试用集合的运算表示 a，b 的位置关系。
①直线 a，b 只有一个公共点 P 可表示为__________；
②直线 a，b 没有公共点可表示为$A \cap B = \varnothing$；
③直线 a，b 有无数个公共点可表示为$A \cap B = A = B$。

答案：
(2)①$A \cap B = \{点 P\}$ ②$A \cap B = \varnothing$ ③$A \cap B = A = B$ ①.
a，b 只有一个公共点P，即 a，b 相交于点 P，可表示为$A \cap B = \{点 P\}$.
②a，b 没有公共点，即 a，b 平行，
可表示为$A \cap B = \varnothing$.
③a，b 有无数个公共点，即 a，b 重合，
可表示为$A \cap B = A = B$.

【例 3】已知集合 $ A = \{ x | x \leq - 1 $ 或 $ x \geq 3 \} $，$ B = \{ x | a ＜ x ＜ 4 \} $，若 $ A \cup B = \mathbf { R } $，则实数 a 的取值范围是(C)

A.$ 3 \leq a ＜ 4 $
B.$ - 1 ＜ a ＜ 4 $
C.$ a \leq - 1 $
D.$ a ＜ - 1 $

答案：
【例3】 C 利用数轴，若$A \cup B = R$，则$a \leq -1$.