《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【跟踪训练2】 函数$f(x)=\lg x-\frac{1}{x}$的零点所在的区间是(B)

A.$(0,1)$
B.$(1,10)$
C.$(10,100)$
D.$(100,+\infty)$

答案： [跟踪训练2]　B

【问题4】 你现在能说出问题1中的三个函数的零点的个数吗？是怎么判断的？

答案： [问题4]提示　第一个函数有两个零点，第二个函数有一个零点，第三个函数没有零点.可以直接求解或利用二次函数的判别式判断个数，对于一般的函数可利用函数图象判断与$x$轴的交点个数.

【例3】 判断下列函数的零点的个数.
(1) $f(x)=x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{8}$；
(2) $f(x)=\ln x+x^{2}-3$.

答案：
[例3]解　
(1)由$f(x)=0$，即$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{8}=0$，
得$\Delta=(-\frac{3}{4})^{2}-4×\frac{5}{8}=-\frac{31}{16}＜0$，
所以方程$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{8}=0$没有实数根，
即$f(x)$零点的个数为$0$.
(2)方法一　函数对应的方程为$\ln x+x^{2}-3=0$，
所以原函数零点的个数即为函数$y=\ln x$与$y=3 - x^{2}$的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象

由图象知，函数$y=3 - x^{2}$与$y=\ln x$的图象只有一个交点.
从而方程$\ln x+x^{2}-3=0$有一个根，
即函数$f(x)=\ln x+x^{2}-3$有一个零点.
方法二　由于$f(1)=\ln 1+1^{2}-3=-2＜0$，
$f(2)=\ln 2+2^{2}-3=\ln 2+1＞0$，
所以$f(1)f(2)＜0$，
又$f(x)=\ln x+x^{2}-3$的图象在$(1,2)$上是连续的，
所以$f(x)$在$(1,2)$上必有零点，
又$f(x)$在$(0,+\infty)$上是单调递增的，所以零点只有一个.

【跟踪训练3】 已知函数$f(x)=\begin{cases}kx + 2,x\leqslant0,\\\ln x,x\gt0,\end{cases}$若$k\gt0$，则函数$y = |f(x)| - 1$的零点个数是( )

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： [跟踪训练3]　D