《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 1】观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系吧.
(1) $ A = \{ 1,2,3 \} $，$ B = \{ 1,2,3,4,5 \} $；
(2) $ C $ 为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，$ D $ 为这个班全体学生组成的集合；
(3) $ A = \{ x | x = 2k,k \in \mathbf{Z} \} $，$ B = \{ 偶数 \} $.

答案： 提示
(1)集合A包含于集合B,或集合B包含集合A.
(2)集合C包含于集合D,或集合D包含集合C.
(3)集合A包含集合B,集合B也包含于集合A.

1. Venn 图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图.

答案： 1. 封闭曲线

2. 子集

答案： 2. 任意 子集 $A \subseteq B$ A包含于B $A \subseteq A$ $A \subseteq C$

3. 一般地，如果集合 $ A $ 的任何一个元素都是集合 $ B $ 的元素，同时集合 $ B $ 的任何一个元素都是集合 $ A $ 的元素，那么集合 $ A $ 与集合 $ B $ 相等，记作$A=B$.也就是说，若$A \subseteq B$，且$B \subseteq A$，则 $ A = B $.

答案： 3. $A=B$ $A \subseteq B$ $B \subseteq A$

【例 1】指出下列各对集合之间的关系：
(1) $ A = \{ x | - 1 ＜ x ＜ 4 \} $，$ B = \{ x | x - 5 ＜ 0 \} $；
(2) $ A = \{ x | x 是正方形 \} $，$ B = \{ x | x 是矩形 \} $；
(3) $ A = \{ - 1,1 \} $，$ B = \{ ( - 1, - 1),( - 1,1),(1, - 1),(1,1) \} $；
(4) $ M = \{ x | x = 2n - 1,n \in \mathbf{N}^* \} $，$ N = \{ x | x = 2n + 1,n \in \mathbf{N}^* \} $.

答案：
解
(1)集合$B=\{x \mid x＜5\}$，用数轴表示集合A,B,如图所示，
由图可知$A \subseteq B$.

(2)正方形是特殊的矩形，故$A \subseteq B$.
(3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A
与B之间无包含关系.
(4)$M=\{正奇数\}$，$N=\{不含1的正奇数\}$，故$N \subsetneq M$.