《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 3】 为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数 $ a = 2, 3, 4, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} $，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？

答案：
提示

对数函数的图象和性质

答案： $(0, +\infty)$ 无最大、最小值 非奇非偶函数 $(1,0)$ $(-\infty,0)$
$[0, +\infty)$ $(0, +\infty)$ $(-\infty,0]$ $x$轴

【例 1】 (1) 如图，若 $ C_{1}, C_{2} $ 分别为函数 $ y = \log_{a}x $ 和 $ y = \log_{b}x $ 的图象，则 (B)

A.$ 0 ＜ a ＜ b ＜ 1 $
B.$ 0 ＜ b ＜ a ＜ 1 $
C.$ a ＞ b ＞ 1 $
D.$ b ＞ a ＞ 1 $

答案：
(1)B 作直线$y = 1$，则直线与$C_1,C_2$的交点的横坐标分别为
$a,b$，易知$0 ＜ b ＜ a ＜ 1$.

(2) 若函数 $ y = \log_{a}(x + b) + c $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的图象恒过定点 $ (3, 2) $，则实数 $ b =$$$ ，$ c = $ ；

答案：
(2)-2 2
∵函数的图象恒过定点$(3,2)$，
∴将$(3,2)$代入$y = \log_a(x + b) + c$，
得$2 = \log_a(3 + b) + c$.
又当$a ＞ 0$，且$a \neq 1$时，$\log_a1 = 0$恒成立，
∴$c = 2,3 + b = 1$，
∴$b = -2,c = 2$.

(3) 已知 $ f(x) = \log_{a}|x| $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)满足 $ f(-5) = 1 $，试画出函数 $ f(x) $ 的图象.

答案：

(3)解 因为$f(-5) = 1$，所以$\log_a5 = 1$，即$a = 5$，
故$f(x) = \log_5|x| = \begin{cases} \log_5x, x ＞ 0, \\ \log_5(-x), x ＜ 0. \end{cases}$
所以函数$f(x) = \log_5|x|$的图象如图所示.