《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份 $ 0.24 $ 元，卖出的价格是每份 $ 0.40 $ 元，卖不掉的报纸可以以每份 $ 0.08 $ 元的价格退回报社。在一个月(以 30 天计算)里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大。

答案： [跟踪训练1] 解 设每天从报社买进$x$份$(250\leq x\leq400)$报纸，每月所获利润是$y$元.
则每月售出报纸共$(20x + 10×250)$份；
每月退回报社报纸共$10×(x - 250)$份.
依题意得，$y=(0.40 - 0.24)×(20x + 10×250)-(0.24 - 0.08)×10(x - 250)$.
即$y=0.16(20x + 2500)-0.16(10x - 2500)$.
化简得$y = 1.6x + 800$，其中$250\leq x\leq400$.
因为此一次函数的$k = 1.6\gt0$，
所以$y$是一个在定义域内单调递增的函数，再由$250\leq x\leq400$知，
当$x = 400$时，$y$取得最大值，
此时$y = 1.6×400 + 800 = 1440$(元).
所以买进400份报纸所获利润最大，获利1440元.

【例 2】某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售价不得低于 50 元且不得高于 55 元。市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱。
(1)求平均每天的销售量 $ y $(箱)与销售单价 $ x $(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润 $ w $(元)与销售单价 $ x $(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

答案： [例2] 解
(1)根据题意，得$y = 90 - 3(x - 50)$，化简，
得$y=-3x + 240(50\leq x\leq55,x\in\mathbf{N})$.
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以$w=(x - 40)(-3x + 240)=-3x^2 + 360x - 9600(50\leq x\leq55,x\in\mathbf{N})$.
因为$w=-3x^2 + 360x - 9600$
$=-3(x - 60)^2 + 1200$，
所以当$x\lt60$时，$w$随$x$的增大而增大.
又$50\leq x\leq55$，$x\in\mathbf{N}$，所以当$x = 55$时，$w$有最大值，最大值为1125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元.

据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在 10 吨至 25 吨时，月生产总成本 $ y $(万元)可以看成月产量 $ x $(吨)的二次函数；当月产量为 10 吨时，月总成本为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二次函数的顶点。
(1)写出月总成本 $ y $(万元)关于月产量 $ x $(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？

答案： [跟踪训练2] 解
(1)设$y=a(x - 15)^2 + 17.5(a\neq0)$，
将$x = 10$，$y = 20$代入上式，得$20 = 25a + 17.5$，
解得$a=\frac{1}{10}$.所以$y=\frac{1}{10}(x - 15)^2 + 17.5(10\leq x\leq25)$.
(2)设最大利润为$Q(x)$，
则$Q(x)=1.6x - y=1.6x - \left[\frac{1}{10}(x - 15)^2 + 17.5\right]$
$=-\frac{1}{10}(x - 23)^2 + 12.9(10\leq x\leq25)$.
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.