《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例1】 已知函数 $ f(x)=x^2 - 4|x| + 3,x \in R $。根据图象写出它的单调区间。

答案：
解　$f(x)=x^{2}-4|x| + 3=\begin{cases}x^{2}-4x + 3,x\geq0,\\x^{2}+4x + 3,x\lt0.\end{cases}$
如图，

由图象可知，函数的单调递增区间为$[-2,0)$，$[2,+\infty)$，单调递减区间为$(-\infty,-2)$，$[0,2)$。

【跟踪训练1】 画出函数 $ y = |x|(x - 2) $ 的图象，并指出函数的单调区间。

答案：
解　$y = |x|(x - 2)=\begin{cases}x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1,x\geq0,\\-x^{2}+2x=-(x - 1)^{2}+1,x\lt0.\end{cases}$
函数的图象如图实线部分所示

由函数的图象知，函数的单调递增区间为$(-\infty,0]$和$[1,+\infty)$，单调递减区间为$(0,1)$。

【例2】 证明函数 $ f(x)=\frac{1}{x^2 - 4} $ 在区间 $ (2,+\infty) $ 上单调递减。

答案： 证明　$\forall x_{1},x_{2}\in(2,+\infty)$，且$x_{1}\lt x_{2}$，
$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}^{2}-4}-\frac{1}{x_{2}^{2}-4}$
$=\frac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{(x_{1}^{2}-4)(x_{2}^{2}-4)}$
$=\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{(x_{1}^{2}-4)(x_{2}^{2}-4)}$
因为$2\lt x_{1}\lt x_{2}$，
所以$x_{2}-x_{1}\gt0,x_{1}^{2}\gt4,x_{2}^{2}\gt4$，
所以$f(x_{1})-f(x_{2})\gt0$，即$f(x_{1})\gt f(x_{2})$。
所以函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}-4}$在$(2,+\infty)$上单调递减。

【跟踪训练2】 求证：函数 $ f(x)=-\frac{1}{x} - 1 $ 在区间 $ (-\infty,0) $ 上单调递增。

答案： 证明　$\forall x_{1},x_{2}\in(-\infty,0)$，且$x_{1}\lt x_{2}\lt0$，
因为$f(x_{1})-f(x_{2})=-\frac{1}{x_{1}}-1-(-\frac{1}{x_{2}}-1)=\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}=\frac{x_{1}-x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
由题设可得，$x_{1}-x_{2}\lt0,x_{1}x_{2}\gt0$，
所以$f(x_{1})-f(x_{2})\lt0$，即$f(x_{1})\lt f(x_{2})$，
故函数$f(x)=-\frac{1}{x}-1$在区间$(-\infty,0)$上单调递增。