《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【跟踪训练 3】方程$x^2 - \cos x = 0$的实数解的个数是2.所有的实数解的和为0.

答案：
2 0 作出函数$y = \cos x$与$y = x^2$的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于$y$轴对称，故原方程有两个实数解，且两个实数解之和为0．
(跟踪训练3图示)

1. 在同一平面直角坐标系内，函数$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$与$y = \sin x,x\in[2\pi,4\pi]$的图象(B)

A.重合
B.形状相同，位置不同
C.关于$y$轴对称
D.形状不同，位置不同

答案： 1.B 根据正弦曲线的作法可知函数$y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$与$y = \sin x, x \in [2\pi, 4\pi]$的图象只是位置不同，形状相同．

2. 函数$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$的图象与函数$y = 1$的图象的交点个数是(A)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
2.A 将$y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$与$y = 1$的函数图象绘制在同一直角坐标系上，如图所示，

3. 在$[0,2\pi]$上，函数$y = \sqrt{2\sin x - \sqrt{2}}$的定义域是(B)

A.$[0,\frac{\pi}{4}]$
B.$[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$
C.$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$
D.$[\frac{3\pi}{4},\pi]$

答案：
3.B 依题意得$2\sin x - \sqrt{2} \geqslant 0$，即$\sin x \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$．作出$y = \sin x$在$[0, 2\pi]$上的图象及直线$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$，如图所示．由图象可知，满足$\sin x \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$的$x$的取值范围是$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$．

4. 函数$y = \cos x + 4,x\in[0,2\pi]$的图象与直线$y = 4$的交点的坐标为$\left( \frac{\pi}{2},4 \right), \left( \frac{3\pi}{2},4 \right)$.

答案： 4.$\left( \frac{\pi}{2},4 \right), \left( \frac{3\pi}{2},4 \right)$由$\begin{cases} y = \cos x + 4, \\ y = 4, \end{cases}$解得$\cos x = 0$，
当$x \in [0, 2\pi]$时，$x = \frac{\pi}{2}$或$\frac{3\pi}{2}$，
∴交点坐标为$\left( \frac{\pi}{2},4 \right), \left( \frac{3\pi}{2},4 \right)$．

【问题1】 正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？

答案： 提示 能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律。我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出$[0,2\pi]$上的函数图象，然后每次向左（右）平移$2\pi$个单位长度得到整个定义域上的函数图象。②诱导公式一，$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha$，$\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha$，对任意的$k \in \mathbf{Z}$都成立。

1. 函数的周期性
一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在一个非零常数$T$，使得对每一个$x\in D$都有$x + T\in D$，且$f(x + T) = f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做周期函数。非零常数$T$叫做这个函数的周期。

答案： 1.非零常数$T$ $f(x + T) = f(x)$ 非零常数$T$

2. 最小正周期
如果在周期函数$f(x)$的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做$f(x)$的最小正周期。

答案： 2.最小的正数

3. 正弦函数是周期函数，$2k\pi(k\in\mathbf{Z}$且$k\neq0)$都是它的周期，最小正周期是$2\pi$。

答案： 3.周期函数

4. 余弦函数是周期函数，$2k\pi(k\in\mathbf{Z}$且$k\neq0)$都是它的周期，最小正周期是$2\pi$。

答案： 4.周期函数