《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ f(x) = \left( \frac{1}{4} \right)^{x} - \left( \frac{1}{2} \right)^{x} + 1 $ 在 $ [-1, 2] $ 上的最小值是()

A.1
B.$ \frac{13}{16} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.3

答案： C

2. 对于函数 $ f(x) = \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1} $，下列描述正确的选项是()

A.是减函数且值域为 $ (-1, 1) $
B.是增函数且值域为 $ (-1, 1) $
C.是减函数且值域为 $ (-\infty, 1) $
D.是增函数且值域为 $ (-\infty, 1) $

答案： B

3. 已知 $ y = \log_{a}(2 - ax) $ 在 $ [0, 1] $ 上单调递减，则 $ a $ 的取值范围为()

A.$ (0, 1) $
B.$ (1, 2) $
C.$ (0, 2) $
D.$ [2, +\infty) $

答案： B

4. 函数 $ f(x) = \log_{3}(x^{2} + 2x + 4) $ 的值域为.

答案： $[1,+\infty)$

【问题 1】 结合之前所学,请同学们自行阅读课本 136 页~138 页,同桌之间可以相互讨论,5 分钟后检查讨论结果.

答案： 提示 通过对$y=2x$与$y=2^{x}$的比较我们发现，函数$y=2x$的增长速度保持不变，函数$y=2^{x}$的增长速度在变化，而且增长速度越来越快，虽然函数$y=2x$在一定范围内比函数$y=2^{x}$增长快些，但存在一个$x_{0}$，当$x＞x_{0}$时，总有$2^{x}＞2x$，即使一次函数$y=kx(k＞0)$，$k$的值远远大于指数函数$y=a^{x}(a＞1)$中$a$的值，$y=a^{x}(a＞1)$的增长速度最终都会大大超过$y=kx(k＞0)$的增长速度.通过对函数$y=\lg x$与$y=\frac{1}{10}x$的比较我们发现，函数$y=\frac{1}{10}x$的增长速度保持不变，函数$y=\lg x$的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢，虽然函数$y=\lg x$在一定范围内比函数$y=\frac{1}{10}x$增长快些，但存在一个$x_{0}$.当$x＞x_{0}$时，总有$\frac{1}{10}x＞\lg x$，即使对数函数$y=\log_{a}x(a＞1)$中底数$a$的值远远大于一次函数$y=kx(k＞0)$中$k$的值，一次函数$y=kx(k＞0)$的增长速度最终都会超过对数函数$y=\log_{a}x(a＞1)$的增长速度.

【问题 2】 把一次函数 $ y = 2x $，对数函数 $ y = \lg x $和指数函数 $ y = 2^{x} $的图象画到同一坐标系下,并比较它们的增长差异.

答案：
提示

一次函数$y=2x$匀速增长，指数函数$y=2^{x}$增长越来越快，对数函数$y=\lg x$增长最慢.

答案： 单调递增$＞$单调递增$＞$单调递增$y=kx(k＞0)＞\log_{a}x＜a^{x}＞k$