《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题3】若函数$y = f ( x )$在区间$[ a, b ]$上单调递增，则$f ( x )$在区间$[ a, b ]$上的最大值与最小值分别是多少?

答案： 提示　最大值为$f(b)$，最小值为$f(a)$.

【问题4】若$f ( x ) = - x ^ { 2 }$的定义域为$[ - 1, 2 ]$，则$f ( x )$的最大值和最小值一定在端点上取到吗?

答案： 提示　不一定，需要考虑函数的单调性

【例2】已知函数$f ( x ) = \dfrac { 3 } { 2 x - 1 }$.
(1)证明：函数$f ( x )$在$\left( \dfrac { 1 } { 2 }, + \infty \right)$上单调递减；
(2)求函数$f ( x )$在$[ 1, 5 ]$上的最值.

答案：
(1)证明　设$x_1,x_2$是区间$(\frac{1}{2},+\infty)$的任意两个实数，且$x_2＞x_1＞\frac{1}{2}$，
则$f(x_1)-f(x_2)=\frac{3}{2x_1 - 1}-\frac{3}{2x_2 - 1}=\frac{6(x_2 - x_1)}{(2x_1 - 1)(2x_2 - 1)}$.由于$x_2＞x_1＞\frac{1}{2}$，所以$x_2 - x_1＞0,(2x_1 - 1)(2x_2 - 1)＞0$，所以$f(x_1)-f(x_2)＞0$，即$f(x_1)＞f(x_2)$，所以函数$f(x)=\frac{3}{2x - 1}$在区间$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递减.
(2)解　由
(1)知，函数$f(x)$在$[1,5]$上单调递减，因此，函数$f(x)=\frac{3}{2x - 1}$在区间$[1,5]$的两个端点处分别取得最大值与最小值，即最大值为$f(1)=3$，最小值为$f(5)=\frac{1}{3}$.

已知函数$f ( x ) = x + \dfrac { 1 } { x }$.
(1)求证$f ( x )$在$[ 1, + \infty )$上单调递增；
(2)求$f ( x )$在$[ 1, 4 ]$上的最大值及最小值.

答案：
(1)证明　设$1\leq x_1＜x_2$，则$f(x_1)-f(x_2)=(x_1+\frac{1}{x_1})-(x_2+\frac{1}{x_2})=\frac{(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1)}{x_1x_2}$.
$\because1\leq x_1＜x_2,\therefore x_1 - x_2＜0,x_1x_2＞1$，$\therefore x_1x_2 - 1＞0$，$\therefore\frac{(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1)}{x_1x_2}＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$.
$\therefore f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增.
(2)解　由
(1)可知$f(x)$在$[1,4]$上单调递增，当$x=1$时，$f(x)$取得最小值，最小值为$f(1)=2$，当$x=4$时，$f(x)$取得最大值，最大值为$f(4)=\frac{17}{4}$.
综上所述，$f(x)$在$[1,4]$上的最大值是$\frac{17}{4}$，最小值是2.

【例3】随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产$x$台，需另投入成本$G ( x )$万元，且$G ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { 2 x ^ { 2 } + 60 x, 0 ＜ x \leq 40, } \\ { 201 x + \dfrac { 3 600 } { x } - 2 100, 40 ＜ x \leq 100, x \in \mathbf { N } ^ { * }, } \end{array} \right.$由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润$W ( x )$万元关于年产量$x$台的函数解析式(利润$=$销售收入$-$成本)；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?

答案： 解　
(1)由题意可得
$W(x)=\begin{cases}200x - 2x^{2}-60x - 400,0＜x\leq40,\\200x - 201x-\frac{3600}{x}+2100 - 400,40＜x\leq100,x\in N^{*}\end{cases}$
所以$W(x)=\begin{cases}-2x^{2}+140x - 400,0＜x\leq40,\\-x-\frac{3600}{x}+1700,40＜x\leq100,x\in N^{*}\end{cases}$
(2)当$0＜x\leq40$时，$W(x)=-2x^{2}+140x - 400$，当$x=35$时，$W(x)$取最大值，$W(35)=2050$（万元）；
当$40＜x\leq100$时，$W(x)=-x-\frac{3600}{x}+1700 =-(x+\frac{3600}{x})+1700\leq-2\sqrt{x·\frac{3600}{x}}+1700=1580$（万元），当且仅当$x^{2}=3600$，即$x=60$时，等号成立，即$W(x)\leq1580$（万元），因为2050＞1580，
故当该产品的年产量为35台时，所获利润最大，最大利润为2050万元.