《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

作出 $ y = \frac{2}{x} $($ -2\leq x ＜ 1 $ 且 $ x\neq 0 $)的图象，并指出其值域和单调区间。

答案：
[跟踪训练1] 解 由题意知函数$y=\frac{2}{x}(-2\leq x\lt1$且$x\neq0)$的图象为反比例函数图象的一部分，
当$x = -2$时，$y=\frac{2}{-2}=-1$；当$x = 1$时，$y=\frac{2}{1}=2$；
所以该函数图象如图:

由图象可知，函数$y=\frac{2}{x}(-2\leq x\lt1$且$x\neq0)$的值域为$(-\infty,-1]\cup(2,+\infty)$.
单调递减区间为$[-2,0)$和$(0,1)$，没有单调递增区间.

【问题 3】观察函数 $ y = x + \frac{1}{x} $ 解析式的特点，你想到了什么？

答案： [问题3] 提示 学习了幂函数，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行相关的运算，得到了新的函数$y = x+\frac{1}{x}$.

【问题 4】大家讨论一下，如何作出该函数的图象？

答案： [问题4] 提示 借助计算机软件，我们绘制出它的图象.

【问题 5】观察函数图象，你能发现函数图象有什么特点吗？

答案： [问题5] 提示 发现该函数图象介于$y = x$和$y$轴之间，且图象无限接近$y = x$和$y$轴，函数图象像两个勾子一样，故称此类函数为“对勾函数”.

【问题 6】结合函数的解析式和函数图象，你能得出 $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ 的哪些性质？

答案： [问题6] 提示 ①定义域：$\because x\neq0$，
$\therefore$函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的定义域为$\{x|x\neq0\}$.
②值域：函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$；
③奇偶性：$\because f(-x)=-x-\frac{1}{x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)$，
$\therefore$函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$为奇函数.
④单调性：由函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的图象可知，函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(-\infty,-1)$，$(1,+\infty)$上单调递增，在$(-1,0)$，$(0,1)$上单调递减.
⑤最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当$x\gt0$时，函数有最小值为2，当$x\lt0$时，函数有最大值为$-2$.
⑥对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于$(0,0)$成中心对称.

【例 2】探究函数 $ f(x) = x + \frac{a}{x} $($ a ＞ 0 $)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)。

答案：
[例2] 解 ①定义域：$\{x|x\neq0\}$；
②值域：$(-\infty,-2\sqrt{a}]\cup[2\sqrt{a},+\infty)$；
③奇偶性：奇函数；
④单调性：函数$f(x)=x+\frac{a}{x}(a\gt0)$在$(-\infty,-\sqrt{a})$和$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增，在$[-\sqrt{a},0)$和$(0,\sqrt{a}]$上单调递减，证明如下：
任取$x_1,x_2\in(0,\sqrt{a}]$，且$x_1\lt x_2$，
则$f(x_1)-f(x_2)=x_1+\frac{a}{x_1}-x_2-\frac{a}{x_2}=(x_1 - x_2)·\left(1-\frac{a}{x_1x_2}\right)$.
因为$0\lt x_1\lt x_2\leq\sqrt{a}$，
所以$x_1 - x_2\lt0,0\lt x_1x_2\lt a$，
所以$\frac{a}{x_1x_2}\gt1$，
所以$1-\frac{a}{x_1x_2}\lt0$，所以$f(x_1)-f(x_2)\gt0$，
即$f(x_1)\gt f(x_2)$.
所以$f(x)$在$(0,\sqrt{a}]$上单调递减.
任取$x_1,x_2\in(\sqrt{a},+\infty)$，且$x_1\lt x_2$，
则$f(x_1)-f(x_2)=(x_1 - x_2)\left(1-\frac{a}{x_1x_2}\right)$.
因为$x_1 - x_2\lt0,x_1x_2\gt a$，
所以$\frac{a}{x_1x_2}\lt1$，所以$1-\frac{a}{x_1x_2}\gt0$，
所以$f(x_1)-f(x_2)\lt0$，
所以$f(x_1)\lt f(x_2)$.
所以$f(x)$在$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增.
同理，$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt{a})$上单调递增，在$(-\sqrt{a},0)$上单调递减.
其图象如图所示.

函数 $ f(x) = x + \frac{1}{x} $。
(1)$ x\in [1,3] $，$ f(x) $ 的最小值是2；
(2)$ x\in [\frac{1}{2},3] $，$ f(x) $ 的值域为\left[2,\frac{10}{3}\right]；
(3)$ x\in [-\frac{1}{2},0)\cup(0,3] $，$ f(x) $ 的值域为____。

答案：
(1)$2$ $\because f(x)$在$[1,3]$上单调递增，
$\therefore f(x)$的最小值为$f(1)=2$.
(2)$\left[2,\frac{10}{3}\right]$ $\because f(x)$在$\left[\frac{1}{2},1\right]$上单调递减，在$[1,3]$上单调递增，
$\therefore$最小值为$f(1)=2$，
$\because f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}\lt f(3)=\frac{10}{3}$，$\therefore$最大值为$f(3)$，
$\therefore f(x)$的值域为$\left[2,\frac{10}{3}\right]$.
(3)$(-\infty,-\frac{5}{2}]\cup[2,+\infty)$ $x\in\left[-\frac{1}{2},0\right)\cup(0,3)$，$f(x)$在$\left[-\frac{1}{2},0\right)$上单调递减，$\therefore f(x)$在$\left[-\frac{1}{2},0\right)$上的值域是$(-\infty,-\frac{5}{2}]$，$f(x)$在$(0,3]$上先单调递减，然后单调递增，在$f(1)$处取得最小值，
$\therefore f(x)$在$(0,3]$上的值域是$[2,+\infty)$，
$\therefore f(x)$的值域为$(-\infty,-\frac{5}{2}]\cup[2,+\infty)$.