《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【跟踪训练 3】随着我国经济的不断发展，2018 年年底某偏远地区农民人均年收入为 3000 元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年$6\%$的年平均增长率增长，那么 2025 年年底该地区的农民人均年收入为(B)

A.$3000×1.06×7$元
B.$3000×1.06^{7}$元
C.$3000×1.06×8$元
D.$3000×1.06^{8}$元

答案： 设经过$x$年，该地区的农民人均年收入为$y$元，
根据题意可得$y = 3000×1.06^x$，从2018到2025年共经过了7年，所以2025年年底该地区的农民人均年收入为$3000×1.06^7$元.

1. 下列函数是指数函数的是(A)

A.$y = (\frac{\pi}{2})^{x}$
B.$y = (-8)^{x}$
C.$y = 2^{x - 1}$
D.$y = x^{2}$

答案： 1.A　对于A，函数$y = \left(\frac{\pi}{2}\right)^x$中，$a = \frac{\pi}{2} ＞ 1$，是指数函数；对于B，函数$y = (-8)^x$中，$a = -8 ＜ 0$，不是指数函数；对于C，函数$y = 2^{x - 1} = \frac{1}{2}·2^x$，不是指数函数；对于D，函数$y = x^2$，是幂函数，不是指数函数.

2. 若指数函数$f(x)$的图象过点$(4,81)$，则$f(x)$的解析式为(B)

A.$f(x) = x^{3}$
B.$f(x) = 3^{x}$
C.$f(x) = (\frac{1}{2})^{x}$
D.$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$

答案： 2.B设$f(x) = a^x(a ＞ 0$，且$a\neq1)$，
由题意得$a^4 = 81$，解得$a = 3$，$\therefore f(x) = 3^x$.

3. 为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近 50 年内减少了$10\%$，如果按此规律，设 2017 年的耕地面积为$m$，则 2022 年的耕地面积为(B)

A.$(1 - 0.1^{250})m$
B.$0.9^{\frac{1}{10}}m$
C.$0.9^{250}m$
D.$(1 - 0.9^{\frac{1}{10}})m$

答案： 3.B设每年减少的百分率为$a$，
由题意得，$(1 - a)^{50} = 1 - 10\% = 0.9$，
$\therefore 1 - a = 0.9^{\frac{1}{50}}$，
由2017年的耕地面积为$m$，
得2022年的耕地面积为$(1 - a)^5m = 0.9^{\frac{1}{10}}m$.

4. 若函数$f(x)$是指数函数，且$f(2) = 2$，则$f(x)=$$(\sqrt{2})^x$。

答案： 4.$(\sqrt{2})^x$　由题意，设$f(x) = a^x(a ＞ 0且a\neq1)$，
则由$f(2) = a^2 = 2$，得$a = \sqrt{2}$，
所以$f(x) = (\sqrt{2})^x$.

【问题1】 通过图象，分析 $ y = 2^x $ 与 $ y = (\frac{1}{2})^x $ 的性质并完成下列表格.

答案： 提示 (0,+∞) (0,+∞) 增函数 减函数 无最值
无最值 非奇非偶函数 非奇非偶函数 (0,1) (0,1) 0＜y＜1
y＞1 y＞1 0＜y＜1

【问题2】 用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数 $ y = 2^x $ 与 $ y = (\frac{1}{2})^x $ 的图象.

答案：
提示$ ①\frac{1}{4} \frac{1}{2} 1 2 4$
$ 4 2 1 \frac{1}{2} \frac{1}{4}$
$②y=2^{x}$和$y=(\frac{1}{2})^{x}$的图象如图所示.