《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 一辆匀速行驶的汽车 90 min 行驶的路程为 180 km，则这辆汽车行驶的路程 $ y $(km)与时间 $ t $(h)之间的函数关系式是(D)

A.$ y = 2t $
B.$ y = 120t $
C.$ y = 2t(t\geq 0) $
D.$ y = 120t(t\geq 0) $

答案： 1.D 因为$90min = 1.5h$，所以汽车的速度为$180÷1.5 = 120(km/h)$，
则路程$y(km)$与时间$t(h)$之间的函数关系式是$y = 120t(t\geq0)$.

2. 小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为 100 元，每束花的进价为 6 元，若日均销售量 $ Q $(束)与销售单价 $ x $(元)的关系为 $ Q = 100 - 5x $，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(B)

A.15 元
B.13 元
C.11 元
D.10 元

答案： 2.B 设每天获利$y$元，则$y=(100 - 5x)(x - 6)-100=-5(x - 13)^2+145$，
由$x\gt0$，$Q = 100 - 5x\geq0$，得$0\lt x\leq20$，
故当$x = 13$时，每天获利最大.

3. 在某年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为 $ x $。已知该药品的原价是 $ m $ 元，降价后的价格是 $ y $ 元，则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式是(A)

A.$ y = m(1 - x)^2 $
B.$ y = m(1 + x)^2 $
C.$ y = 2m(1 - x) $
D.$ y = 2m(1 + x) $

答案： 3.A 第一次降价后价格为$m(1 - x)$，第二次降价后价格变为$y = m(1 - x)(1 - x)=m(1 - x)^2$.

4. 某药厂研制出一种新型疫苗，投放市场后其广告投入 $ x $(万元)与药品利润 $ y $(万元)存在的关系为 $ y = x^a $($ \alpha $ 为常数)，其中 $ x $ 不超过 5 万元。已知去年投入广告费用为 3 万元时，药品利润为 27 万元，若今年广告费用投入 5 万元，预计今年药品利润为125万元。

答案： 4.125 由已知得，当投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，
代入$y = x^{\alpha}$，即$3^{\alpha}=27$，解得$\alpha = 3$，
故函数关系式为$y = x^3$.所以当$x = 5$时，$y = 125$.

【问题 1】反比例函数的一般形式是什么？

答案： [问题1] 提示 $y=\frac{k}{x}$，其中$x$为自变量且$x\neq0$，$k$为常数.

【问题 2】反比例函数的图象会过坐标原点吗？

答案： [问题2] 提示 不会，因为$x\neq0$.

【例 1】画出反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象。
(1)求函数的定义域和值域；
(2)判断函数的单调性和奇偶性。

答案：
[例1] 解
(1)函数的定义域为$\{x|x\neq0\}$，函数的值域为$\{y|y\neq0\}$.

(2)令$y = f(x)$，当$k\gt0$时，$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$，没有单调递增区间，证明如下：
当$x\gt0$时，$\forall x_1,x_2\in(0,+\infty)$且$x_1\lt x_2$，
$f(x_1)-f(x_2)=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$
$\because k\gt0,x_1\gt0,x_2\gt0,x_1\lt x_2$，
$\therefore f(x_1)-f(x_2)\gt0$，即$f(x_1)\gt f(x_2)$，
$\therefore f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，
同理当$x\lt0$时，$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减.
当$k\lt0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$，没有单调递减区间(证明略).
$f(x)$为奇函数.