《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例1】判断下列函数的奇偶性.
(1)$f(x)=-|x|$；
(2)$f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1-x^{2}}$；
(3)$f(x)=\frac{x}{x - 1}$；
(4)$f(x)=x-\frac{1}{x}$.

答案： 解　
(1)函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，又$f(-x)= - \vert -x \vert = - \vert x \vert = f(x)$，$\therefore f(x)$为偶函数.
(2)函数$f(x)$的定义域为$\{ -1,1 \}$，关于原点对称，且$f(x)=0$，又$f(-x)=-f(x)$，$f(-x)=f(x)$，$\therefore f(x)$既是奇函数又是偶函数.
(3)函数$f(x)$的定义域为$\{ x \mid x \neq 1 \}$，不关于原点对称，$\therefore f(x)$是非奇非偶函数.
(4)函数$f(x)$的定义域为$\{ x \mid x \neq 0 \}$，$\because \forall x \in \{ x \mid x \neq 0 \}$，都有$-x \in \{ x \mid x \neq 0 \}$，且$f(-x)= -x - \frac{1}{-x} = - ( x - \frac{1}{x} ) = -f(x)$，$\therefore f(x)$是奇函数.

判断下列函数的奇偶性.
(1)$f(x)=\frac{1}{x}$；
(2)$f(x)=\begin{cases}1 - x^{2},x\gt0,\\0,x = 0,\\x^{2}-1,x\lt0.\end{cases}$

答案： 解　
(1)$f(x)=\frac{1}{x}$的定义域为$( - \infty,0) \cup (0, + \infty)$，$\because f(-x)= - \frac{1}{x} = -f(x)$，$\therefore f(x)=\frac{1}{x}$是奇函数.
(2)当$x＞0$时，$f(x)=1 - x^2$，此时$-x＜0$，所以$f(-x)=(-x)^2 - 1 = x^2 - 1$，所以$f(-x)= -f(x)$；当$x＜0$时，$f(x)=x^2 - 1$，此时$-x＞0$，$f(-x)=1 - (-x)^2 = 1 - x^2$，所以$f(-x)= -f(x)$；当$x = 0$时，$f(0)=0$.综上，对$\forall x \in \mathbf{R}$，总有$f(-x)= -f(x)$，所以函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数.