《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 2】若函数$f(x) = (\frac{1}{2}a - 3)· a^{x}$是指数函数，则$f(\frac{1}{2})$的值为(D)

A.$2$
B.$-2$
C.$-2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 因为函数$f(x)$是指数函数，
所以$\frac{1}{2}a - 3 = 1$，
所以$a = 8$，
所以$f(x) = 8^x$，$f\left(\frac{1}{2}\right) = 8^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$.

【跟踪训练 2】指数函数$y = f(x)$的图象经过点$(-2,\frac{1}{9})$，那么$f(2)· f(1)$等于(C)

A.$-3$
B.$9$
C.$27$
D.$81$

答案： 由指数函数$y = f(x) = a^x(a ＞ 0$，且$a\neq1)$的图象经过点$\left(-2,\frac{1}{9}\right)$，可得$a^{-2} = \frac{1}{9}$，解得$a = 3$，函数的解析式为$y = 3^x$，$f(2)· f(1) = 3^2×3^1 = 27$.

【问题 2】将一张报纸连续对折，折叠次数$x$与对应的层数$y$之间存在什么关系？对折后的面积$S$（设原面积为 1）与折叠的次数有怎样的关系？

答案：
提示


由上面的对应关系，我们可以归纳出第$x$次折叠后对应的层数为$y = 2^x(x\in N^*)$，对折后的面积$S = \left(\frac{1}{2}\right)^x(x\inN^*)$.

1. $y = ka^{x}$($k＞0$，$a＞0$且$a≠1$)，当$a＞1$时为指数增长型函数模型。
2. $y = ka^{x}$($k＞0$，$a＞0$且$a≠1$)，当$0＜a＜1$时为指数衰减型函数模型。

答案： 1.$a＞1$　2.$0＜a＜1$

【例 3】(1) 某种细菌经 60 分钟培养，可繁殖为原来的 2 倍，且知该细菌的繁殖规律为$y = 10e^{kt}$，其中$k$为常数，$t$表示时间(单位：小时)，$y$表示细菌个数，10 个细菌经过 7 小时培养，细菌能达到的个数为(B)
A. $640$
B. $1280$
C. $2560$
D. $5120$
延伸探究
将本例的条件变为“细菌经 60 分钟培养，可繁殖为原来的 3 倍”，其他的条件不变，试求经过 7 小时培养，细菌能达到的个数。

答案：
(1)B
延伸探究　解　设原来的细菌数为$a$，由题意可得，
当$t = 1$时，$y = 3a$，所以$3a = 10e^k$，即$e^k = \frac{3a}{10}$.
当$a = 10$时，$e^k = 3$，所以$y = 10e^{kt} = 10·3^t$，
若$t = 7$，则可得此时的细菌数为$y = 10×3^7 = 21870$.

(2) 有容积相等的桶$A$和桶$B$，开始时桶$A$中有$a$升水，桶$B$中无水。现把桶$A$的水注入桶$B$，$t$分钟后，桶$A$的水剩余$y_{1}=am^{t}$(升)，其中$m$为正常数。假设 5 分钟后，桶$A$和桶$B$的水相等，要使桶$A$的水只有$\frac{a}{16}$升，必须再经过(B)

A.$12$分钟
B.$15$分钟
C.$20$分钟
D.$25$分钟

答案：
(2)B　设B中水的体积为$y_2 = a - am^t$
则当$t = 5$时，$y_1 = y_2$
所以$am^5 = a - am^5$，解得$m^5 = \frac{1}{2}$
令$y_1 = a· m^t = \frac{a}{16}$，则$m^t = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = (m^5)^4 = m^{20}$
所以$t = 20$，$20 - 5 = 15$.