《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 若$p:\frac{x - 5}{2 - x} \geq 0$，$q:x^2 - 7x + 10 ＜ 0$，则$p$是$q$的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B　不等式$(x - 2)(x + 1)≤0$且$x + 1≠0$，
∴$-1＜x≤2$。

2. 不等式$\frac{x - 2}{x + 1} \leq 0$的解集是(D)

A.$\{x|x ＜ - 1$，或$- 1 ＜ x \leq 2\}$
B.$\{x|- 1 \leq x \leq 2\}$
C.$\{x|x ＜ - 1$，或$x \geq 2\}$
D.$\{x|- 1 ＜ x \leq 2\}$

答案： 2.D　此不等式等价于$\begin{cases}(x - 2)(x + 1)≤0 \\ x + 1≠0 \end{cases}$，
∴$-1＜x≤2$。

3. 已知不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$的解集为$\{x|- 2 ＜ x ＜ 1\}$，那么不等式$cx^2 - ax + b ＞ 0$的解集为(D)

A.$\{x|-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 1\}$
B.$\{x|x ＜ -\frac{1}{2}$，或$x ＞ 1\}$
C.$\{x|- 1 ＜ x ＜ \frac{1}{2}\}$
D.$\{x|x ＜ - 1$，或$x ＞ \frac{1}{2}\}$

答案： 3.D　因为不等式$ax² + bx + c＞0$的解集为$\{x|-2＜x＜1\}$，
所以$a＜0$，且$-2$和$1$是一元二次方程$ax² + bx + c = 0$的两个实根，所以$-2 + 1 = -\frac{b}{a}$，$-2×1 = \frac{c}{a}$，即$c = - 2a$，$b = a$，
所以不等式$cx² - ax + b＞0$可化为$-2ax² - ax + a＞0$，
因为$a＜0$，所以$2x² + x - 1＞0$，即$(2x - 1)(x + 1)＞0$，解得$x＞\frac{1}{2}$或$x＜ - 1$。

4. 某商品在最近$30$天内的价格$y_1$与时间$t$(单位：天)的关系式是$y_1 = t + 10(0 ＜ t \leq 30,t \in \mathbf{N})$；销售量$y_2$与时间$t$的关系式是$y_2 = - t + 35(0 ＜ t \leq 30,t \in \mathbf{N})$，则使这种商品日销售金额$z$不小于$500$元的$t$的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.

答案： 4.$\{t|10≤t≤15,t∈N\}$　$z=(t + 10)( - t + 35)$，
依题意有$(t + 10)( - t + 35)≥500$，
解得$10≤t≤15$，$t∈N$，所以解集为$\{t|10≤t≤15,t∈N\}$。

【例 1】已知不等式$kx^2 + 2kx - (k + 2) ＜ 0$恒成立，求实数$k$的取值范围.

答案： 当$k = 0$时，原不等式化为$-2＜0$，显然符合题意。
当$k≠0$时，令$y = kx² + 2kx - (k + 2)$，由$y＜0$恒成立，
∴其图象都在$x$轴的下方，且与$x$轴无交点，
即$\begin{cases}k＜0 \\ 4k² + 4k(k + 2)＜0 \end{cases}$，解得$-1＜k＜0$。
综上，实数$k$的取值范围是$\{k|-1＜k≤0\}$。

若关于$x$的不等式$kx^2 + 3kx + k - 2 \leq 0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$k$的取值范围是(D)

A.$\{k|-\frac{4}{5} \leq k ＜ 0\}$
B.$\{k ＜ |-\frac{8}{5} \leq k ＜ 0\}$
C.$\{k ＜ |-\frac{4}{5} \leq k \leq 0\}$
D.$\{k ＜ |-\frac{8}{5} \leq k \leq 0\}$

答案： 1.D　当$k = 0$时，$-2≤0$恒成立，符合题意；
当$k≠0$时需满足$k＜0$且$9k² - 4k(k - 2)=5k² + 8k≤0$，得$-\frac{8}{5}≤k＜0$，
综上，实数$k$的取值范围是$\{k|-\frac{8}{5}≤k≤0\}$。