《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

判断下列函数的奇偶性。
(1)$f(x)=\sin x\cos x$；
(2)$f(x)=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{\cos x - 1}$。

答案： 解
(1)函数的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称。
$\because f( - x) = \sin( - x)\cos( - x) = - \sin x\cos x = - f(x)$，
$\therefore f(x) = \sin x\cos x$为奇函数。
(2)由$\begin{cases}1 - \cos x \geq 0 \\ \cos x - 1 \geq 0 \end{cases}$，得$\cos x = 1$，
$\therefore$函数的定义域为$\{ x|x = 2k\pi,k \in \mathbf{Z}\}$，定义域关于原点对称。
当$\cos x = 1$时，$f(x) = 0$，$f(x) = \pm f( - x)$。
$\therefore f(x) = \sqrt{1 - \cos x} + \sqrt{\cos x - 1}$既是奇函数又是偶函数。

【问题3】 知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有什么帮助？

答案： 提示 通过研究一个周期内的函数图象和性质，可推导出整个函数具有的性质。

【例3】 定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$既是偶函数，又是周期函数，若$f(x)$的最小正周期为$\pi$，且当$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$时，$f(x)=\sin x$，则$f\left(\frac{5\pi}{3}\right)$等于(D)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D $f\left( \frac{5\pi}{3} \right) = f\left( \frac{5\pi}{3} - \pi \right) = f\left( \frac{2\pi}{3} \right) = f\left( \frac{2\pi}{3} - \pi \right) = f\left( - \frac{\pi}{3} \right) = f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

函数$f(x)=\frac{1}{2}\sin\left(\omega x-\frac{\pi}{2}\right)(\omega\neq0)$，则$f(x)$是偶函数(填“奇函数”或“偶函数”)，若$f(x)$的周期为$\pi$，则$\omega=$$\pm 2$。

答案： 偶函数 $\pm 2$ $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\omega x - \frac{\pi}{2}) = - \frac{1}{2}\cos\omega x$。
$\therefore f( - x) = - \frac{1}{2}\cos( - \omega x) = - \frac{1}{2}\cos\omega x = f(x)$，
$\therefore f(x)$为偶函数，
又$T = \pi$，$\therefore \frac{2\pi}{|\omega|} = \pi$，$\therefore\omega = \pm 2$。

1. 函数$f(x)=\sqrt{3}\sin\left(-\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right),x\in\mathbf{R}$的最小正周期为(D)

A.$\frac{\pi}{2}$
B.$\pi$
C.$2\pi$
D.$4\pi$

答案： 1.D 由题意得$T = \frac{2\pi}{\left| - \frac{1}{2} \right|} = 4\pi$。

2. 函数$y = 4\sin(2x-\pi)$的图象关于(B)

A.$x$轴对称
B.原点对称
C.$y$轴对称
D.直线$x=\frac{\pi}{2}$对称

答案： 2.B 因为$y = 4\sin(2x - \pi) = - 4\sin 2x$是奇函数，所以其图象关于原点对称。

3. 图象为如图的函数可能是(A)

A.$y = x·\cos x$
B.$y = x·\sin x$
C.$y = x·|\cos x|$
D.$y = x·2^{x}$

答案： 3.A 根据图象可看到函数为奇函数，并且与$x$轴交点不止一个，而$y = x · \sin x$是偶函数，$y = x · 2^{x}$非奇非偶，由此可排除B、D；
当$x ＞ 0$时，$y = x · |\cos x| ＞ 0$，由此可排除C；
故选A。

4. 已知$f(x)$为奇函数，且周期为$\frac{3\pi}{4}$，若$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-1$，则$f\left(\frac{23\pi}{4}\right)=$1。

答案： 4.1 $\because T = \frac{3\pi}{4}$，又$f(x)$为奇函数，
$\therefore f\left( \frac{23\pi}{4} \right) = f\left( 8 × \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) = f\left( - \frac{\pi}{4} \right) = - f\left( \frac{\pi}{4} \right) = - ( - 1) = 1$。