《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例1】 已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x + 1,x\leqslant - 2,\\3x + 5,-2\lt x\lt2,\\2x - 1,x\geqslant2.\end{cases} $
(1)求 $ f(-5),f(1),f(f(-\frac{5}{2})) $;
(2)若 $ f(a^{2}+2)\geqslant a + 4 $,求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 解　
(1)由$-5 \in (-\infty,-2],1 \in (-2,2),-\frac{5}{2} \in (-\infty,-2]$，知
$f(-5)=-5+1=-4$，
$f(1)=3 × 1+5=8,f(f(-\frac{5}{2}))=f(-\frac{5}{2}+1)$
$=f(-\frac{3}{2})=3 × (-\frac{3}{2})+5=\frac{1}{2}$．
(2)因为$a^{2}+2 \geq 2$，
所以$f(a^{2}+2)=2(a^{2}+2)-1=2a^{2}+3$，
所以不等式$f(a^{2}+2) \geq a+4$化为$2a^{2}-a-1 \geq 0$，
解得$a \geq 1$或$a \leq -\frac{1}{2}$，
即实数a的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2}] \cup [1,+\infty)$．

【跟踪训练1】 (1)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x - 2,x\lt2,\\f(x - 1),x\geqslant2,\end{cases}$ 则 $ f(2) $ 等于( )

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案：
(1)A　$f(2)=f(1)=1-2=-1$．

(2)已知 $ f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x + 1,x\leqslant0,\\-(x - 1)^{2},x\gt0,\end{cases}$ 使 $ f(x)\geqslant - 1 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是( )

A.$[-4,2)$
B.$[-4,2]$
C.$(0,2]$
D.$(-4,2]$

答案：
(2)B　当$x \leq 0$时，$f(x) \geq -1$即$\frac{1}{2}x+1 \geq -1$，解得$x \in [-4,0]$；
当$x＞0$时，$f(x) \geq -1$即$-(x - 1)^{2} \geq -1$，
解得$x \in (0,2]$，
综上，x的取值范围是$[-4,2]$．

【例2】 已知函数 $ f(x)=-x^{2}+2,g(x)=x $,令 $ \varphi(x)=\min\{f(x),g(x)\} $ (即 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 中的较小者).
(1)分别用图象和解析式表示 $ \varphi(x) $;
(2)求函数 $ \varphi(x) $ 的定义域,值域.

答案：
解　
(1)在同一个坐标系中画出函数$f(x),g(x)$的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数$\varphi(x)$的定义，可得函数$\varphi(x)$的图象如图②.
令$-x^{2}+2=x$，得$x=-2$或$x=1$.
结合图②，得出$\varphi(x)$的解析式为
$\varphi(x)=\begin{cases}-x^{2}+2,x \leq -2, \\x,-2＜x＜1, \\-x^{2}+2,x \geq 1.\end{cases}$
(2)由图②知，$\varphi(x)$的定义域为$\mathbf{R},\varphi(1)=1$，
$\therefore \varphi(x)$的值域为$(-\infty,1]$．

【跟踪训练2】 函数 $ f(x) $ 的图象如图所示,求函数 $ f(x) $ 的解析式.

答案： 解　当$x ＜ -1$时，
设$f(x)=ax + b$，
则$\begin{cases}-a + b = 1, \\-2a + b = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1, \\b = 2,\end{cases}$
所以$f(x)=x + 2$；
当$-1 \leq x \leq 2$时，设$f(x)=kx^{2}$，
由$4 = k · 2^{2}$得$k = 1$，所以$f(x)=x^{2}$；
当$x ＞ 2$时，设$f(x)=cx + d$，
则$\begin{cases}2c + d = 4, \\3c + d = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}c = 2, \\d = 0,\end{cases}$
所以$f(x)=2x$，
所以$f(x)=\begin{cases}x + 2,x ＜ -1, \\x^{2},-1 \leq x \leq 2, \\2x,x ＞ 2.\end{cases}$