《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【跟踪训练 2】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假。
(1)有的素数是偶数；
(2)$\exists a,b\in\mathbf{R},a^{2}+b^{2}\leq0$。

答案： 解
(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数，因此命题的否定为假命题.
(2)命题的否定：∀a,b∈R，$a^2+b^2＞0.$
∵当a=b=0时，$a^2+b^2=0，$
∴命题的否定是假命题.

【例 3】命题“存在$x\gt1$，使得$2x + a\lt3$”是假命题，求实数$a$的取值范围。

答案： 解 命题“存在x＞1，使得2x+a＜3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x＞1，使得2x+a≥3”是真命题，
因为对任意x＞1，都有2x+a＞2+a，
所以2+a≥3，所以a≥1.

【跟踪训练 3】已知命题$p:\forall x\in\{x|-3\leq x\leq2\}$，都有$x\in\{x|a - 4\leq x\leq a + 5\}$，且$\neg p$是假命题，求实数$a$的取值范围。

答案： 解 因为¬p是假命题，所以p是真命题，
又∀x∈{x｜-3≤x≤2}，都有x∈{x｜a-4≤x≤a+5}，
所以{x｜-3≤x≤2}⊆{x｜a-4≤x≤a+5}，
则$\begin{cases}a-4≤-3,\\a+5≥2,\end{cases}$
解得-3≤a≤1，
即实数a的取值范围是-3≤a≤1.

1. 命题“$\forall x\in\mathbf{R},|x| + x^{2}\geq0$”的否定是(C)

A.$\forall x\in\mathbf{R},|x| + x^{2}\lt0$
B.$\forall x\in\mathbf{R},|x| + x^{2}\leq0$
C.$\exists x\in\mathbf{R},|x| + x^{2}\lt0$
D.$\exists x\in\mathbf{R},|x| + x^{2}\geq0$

答案： 1.C 此全称量词命题的否定为∃x∈R，$｜x｜+x^2＜0.$

2. 命题“$\exists x\gt0,2x^{2}=5x - 1$”的否定是(A)

A.$\forall x\gt0,2x^{2}\neq5x - 1$
B.$\forall x\leq0,2x^{2}=5x - 1$
C.$\exists x\gt0,2x^{2}\neq5x - 1$
D.$\exists x\leq0,2x^{2}=5x - 1$

答案： 2.A 存在量词命题的否定是全称量词命题.

3. 已知命题$p:\exists x\in\{x|1\lt x\lt3\},x - a\geq0$，若$\neg p$是真命题，则实数$a$的取值范围是(D)

A.$a\lt1$
B.$a\gt3$
C.$a\leq3$
D.$a\geq3$

答案： 3.D ¬p：∀x∈{x｜1＜x＜3}，x-a＜0，¬p是真命题，
即对∀x∈{x｜1＜x＜3}，a＞x恒成立，于是得a≥3.

4. 命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为存在两个等边三角形，它们不相似。

答案： 4. 存在两个等边三角形，它们不相似 根据全称量词命题与存在量词
命题的关系，可得：命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为“存
在两个等边三角形，它们不相似”.