《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

(2) 若一次函数$f(x) = kx + b$有一个零点$-2$，则函数$g(x) = bx^{2}-kx$的图象可能是(B)

答案：
(2)B

【跟踪训练1】 求下列函数的零点：
(1) $f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x - 3,x\leqslant0,\\-2+\ln x,x\gt0;\end{cases}$
(2) $f(x)=(\lg x)^{2}-\lg x$.

答案： [跟踪训练1]　解　
(1)当$x\leq0$时，令$x^{2}+2x - 3=0$，解得$x=-3(x = 1$舍去$)$；
当$x＞0$时，令$-2+\ln x=0$，解得$x=e^{2}$.
所以函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+2x - 3,x\leq0\\-2+\ln x,x＞0\end{cases}$的零点为$-3$和$e^{2}$.
(2)令$(\lg x)^{2}-\lg x=0$，则$\lg x(\lg x - 1)=0$，
$\therefore\lg x=0$或$\lg x=1$，$\therefore x=1$或$x=10$，
$\therefore$函数$f(x)$的零点是$1,10$.

【问题3】 探究函数$y = x^{2}+4x - 5$的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？

答案： [问题3]　提示　利用图象可知，零点$-5\in(-6,-4)$，零点$1\in(0,2)$，且$f(-6)f(-4)＜0$，$f(0)f(2)＜0$，且函数图象在零点附近是连续不断的.再比如：函数$f(x)=2x - 1$的零点为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}\in(0,1)$，且有$f(0)f(1)＜0$；函数$f(x)=\log_{2}(x - 1)$的零点为$2$，$2\in(\frac{3}{2},3)$，且有$f(\frac{3}{2})f(3)＜0$，且以上函数在零点附近的图象也都是连续的.

函数零点存在性定理
如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有$f(a)f(b)＜0$，那么，函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$内至少有一个零点，即存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$，这个$c$也就是方程$f(x) = 0$的解.

答案： 连续不断　$f(a)f(b)＜0$　至少　$f(c)=0$

【例2】 (多选)若函数$f(x)$的图象在$\mathbf{R}$上连续不断，且满足$f(0)\lt0$，$f(1)\gt0$，$f(2)\gt0$，则下列说法错误的是(ABD)

A.$f(x)$在区间$(0,1)$上一定有零点，在区间$(1,2)$上一定没有零点
B.$f(x)$在区间$(0,1)$上一定没有零点，在区间$(1,2)$上一定有零点
C.$f(x)$在区间$(0,1)$上一定有零点，在区间$(1,2)$上可能有零点
D.$f(x)$在区间$(0,1)$上可能有零点，在区间$(1,2)$上一定有零点

答案： [例2]ABD