《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

(1)设集合 $ M = \{ 菱形 \} $，$ N = \{ 平行四边形 \} $，$ P = \{ 四边形 \} $，$ Q = \{ 正方形 \} $，则这些集合之间的关系为(B)

A.$ P \subseteq N \subseteq M \subseteq Q $
B.$ Q \subseteq M \subseteq N \subseteq P $
C.$ P \subseteq M \subseteq N \subseteq Q $
D.$ Q \subseteq N \subseteq M \subseteq P $

答案：
(1)B 正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四
边形都是四边形，则$Q \subsetneq M \subsetneq N \subsetneq P$.

(2)现有以下三组集合：① $ \{ a,b \} $ 和 $ \{ b,a \} $；② $ \{ 1,0 \} $ 和 $ \{ (1,0) \} $；③ $ \{ y | y = x^2,x \in \mathbf{R} \} $ 和 $ \{ x | y = x^2,x \in \mathbf{R} \} $；其中，满足集合相等的有(C)

A.3 组
B.2 组
C.1 组
D.0 组

答案：
(2)C ①中两集合含有相同的元素，故这两个集合相等；②中集合$\{1,0\}$含有两个元素1,0，而集合$\{(1,0)\}$中只有一个元素(1,0)，这
两个集合不相等；③中两集合都是用描述法表示的，但代表元素不一样，集合$\{y \mid y=x^2, x \in R\}$中$y \geq 0$，即表示非负实数，集合$\{x \mid y=x^2, x \in R\}$中$x \in R$，即表示全体实数，这两个集合不相等.

【问题 2】通过学习子集的概念我们发现，一个非空集合的子集有好多个，你能对它们进行分类吗？

答案： 提示 对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个
数大多比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的
一个子集.

2. 空集

答案： 2. 空集 $\varnothing$

【例 2】写出集合 $ \{ a,b,c \} $ 的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

答案： 解 子集有$\varnothing$，$\{a\}$，$\{b\}$，$\{c\}$，$\{a,b\}$，$\{a,c\}$，$\{b,c\}$，$\{a,b,c\}$，其
中真子集有$\varnothing$，$\{a\}$，$\{b\}$，$\{c\}$，$\{a,b\}$，$\{a,c\}$，$\{b,c\}$.

满足 $ \{ 1,2 \} \subsetneqq M \subseteq \{ 1,2,3,4,5 \} $ 的集合 $ M $ 有7个.

答案： 7 由题意可得$\{1,2\} \subsetneq M \subseteq \{1,2,3,4,5\}$，可以确定集
合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集
合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：$\{1,2,3\}$，$\{1,2,4\}$，$\{1,2,5\}$；
含有四个元素：$\{1,2,3,4\}$，$\{1,2,3,5\}$，$\{1,2,4,5\}$；
含有五个元素：$\{1,2,3,4,5\}$.
故满足题意的集合M共有7个.