《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【跟踪训练 1】 (1) 已知 $ \sin\alpha + 3\cos\alpha = 0 $，求 $ \sin\alpha $，$ \cos\alpha $ 的值.

答案：
(1)
∵$\sin\alpha + 3\cos\alpha = 0$，
∴$\sin\alpha = - 3\cos\alpha$. 又$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，
∴$(-3\cos\alpha)^{2}+\cos^{2}\alpha = 1$， 即$10\cos^{2}\alpha = 1$，
∴$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{10}}{10}$. 又由$\sin\alpha = - 3\cos\alpha$，可知$\sin\alpha$与$\cos\alpha$异号，
∴角$\alpha$的终边在第二或第四象限. 当角$\alpha$的终边在第二象限时， $\cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}$； 当角$\alpha$的终边在第四象限时， $\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

(2) 已知 $ \dfrac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = -1 $，求 $ \sin^{2}\alpha + \sin\alpha\cos\alpha + 1 $ 的值.
目标二 $ \sin\theta \pm \cos\theta $ 型求值问题

答案：
(2)方法一　（弦化切） 由$\frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha - 3}{\tan\alpha + 1}=-1$，得$\tan\alpha = 1$， 所以$\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha + 1=\frac{\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha + \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}$ $=\frac{2\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}$ $=\frac{2\tan^{2}\alpha+\tan\alpha + 1}{\tan^{2}\alpha+1}=\frac{2×1 + 1+1}{1 + 1}=2$. 方法二　因为$\frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=-1$， 所以$\sin\alpha=\cos\alpha$， 所以$\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha + 1=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha+1 = 2$.

【例 2】 已知 $ \sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2} (0 ＜ \theta ＜ \pi) $，求 $ \sin\theta\cos\theta $ 和 $ \sin\theta - \cos\theta $ 的值.

答案： [例2]解　因为$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}(0＜\theta＜\pi)$， 所以$(\sin\theta+\cos\theta)^{2}=\frac{1}{4}$， 即$\sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta=\frac{1}{4}$， 所以$\sin\theta\cos\theta=-\frac{3}{8}$， 所以$\sin\theta＞0$，$\cos\theta＜0$， 所以$\sin\theta-\cos\theta＞0$，所以$\sin\theta-\cos\theta$ $=\sqrt{(\sin\theta+\cos\theta)^{2}-4\sin\theta\cos\theta}=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}-4×(-\frac{3}{8})}=\frac{\sqrt{7}}{2}$.

【跟踪训练 2】 若 $ \sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2} $，则 $ \tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = $−2.

答案：
[跟踪训练2]　−2　由已知得$(\sin\theta-\cos\theta)^{2}=2$，
∴$\sin\theta\cos\theta=-\frac{1}{2}$，
∴$\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin\theta\cos\theta}=-2$. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【问题 3】 你能发现同角三角函数的基本关系的哪些变形形式？

答案： [问题3]　提示　$\begin{cases}\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\\\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha\\\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\\\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}\\\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}\\(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^{2}=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha\end{cases}\begin{matrix}\\\end{matrix}\begin{cases}\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\to\begin{cases}\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha\\\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}\end{cases}\end{cases}$ 利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值.

【例 3】 (1) 化简：$ \dfrac{\sqrt{1 + 2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}}{\cos10^{\circ} + \sqrt{1 - \cos^{2}10^{\circ}}} $；

答案：
(1)解　原式$=\frac{\sqrt{(\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ})^{2}}}{\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}}=\frac{\vert\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}\vert}{\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}} = 1$.