《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例1】求证：

$ \frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}=\frac{2 \sin \left(\theta-\frac{3 \pi}{2}\right) \cos \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)-1}{1-2 \sin ^{2}(\pi+\theta)}. $

答案： 证明
∵右边=$\frac{ - 2 \sin ( \frac { 3 \pi } { 2 } - \theta ) · ( - \sin \theta ) - 1 } { 1 - 2 \sin ^ { 2 } \theta }$
=$\frac{2 \sin [ \pi + ( \frac { \pi } { 2 } - \theta ) ] \sin \theta - 1 } { 1 - 2 \sin ^ { 2 } \theta }$
=$\frac{ - 2 \sin ( \frac { \pi } { 2 } - \theta ) \sin \theta - 1 } { 1 - 2 \sin ^ { 2 } \theta }$
=$\frac{ - 2 \cos \theta \sin \theta - ( \sin ^ { 2 } \theta + \cos ^ { 2 } \theta ) } { \cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta - 2 \sin ^ { 2 } \theta }$
=$\frac{( \sin \theta + \cos \theta ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta - \cos ^ { 2 } \theta } = \frac { \sin \theta + \cos \theta } { \sin \theta - \cos \theta }$
=左边，
∴原等式成立.

求证：
$ \frac{\cos (2 \pi-\theta)}{\cos (\pi+\theta) \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)-\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right)}+\frac{\cos (\pi-\theta)}{\cos \theta\left[\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)-1\right]}=\frac{2}{\sin ^{2} \theta}. $

答案： 证明
∵左边=$\frac { \cos \theta } { - \cos \theta \cos \theta + \cos \theta } + \frac { - \cos \theta } { \cos \theta ( - \cos \theta - 1 ) }$
=$\frac { 1 } { 1 - \cos \theta } + \frac { 1 } { 1 + \cos \theta }$
=$\frac { 1 + \cos \theta + 1 - \cos \theta } { ( 1 - \cos \theta ) ( 1 + \cos \theta ) }$
=$\frac { 2 } { 1 - \cos ^ { 2 } \theta } = \frac { 2 } { \sin ^ { 2 } \theta }$=右边，
∴原等式成立.

【问题1】三角形中其中一个角与另外两角的和是什么关系？

答案： 提示　互补.

【问题2】直角三角形中，两锐角是什么关系？

答案： 提示　互余.

【例2】在$\triangle ABC$中，$\sin \frac{A+B-C}{2}=\sin \frac{A-B+C}{2}$，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 解　因为$A + B + C = \pi$，
所以$A + B - C = \pi - 2 C$，$A - B + C = \pi - 2 B$．
又因为$\sin \frac { A + B - C } { 2 } = \sin \frac { A - B + C } { 2 }$，
所以$\sin \frac { \pi - 2 C } { 2 } = \sin \frac { \pi - 2 B } { 2 }$，
所以$\sin ( \frac { \pi } { 2 } - C ) = \sin ( \frac { \pi } { 2 } - B )$，
所以$\cos C = \cos B$.
又B，C为△ABC的内角，所以C=B，
所以△ABC为等腰三角形