《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题】你能作出正弦函数 $ y = \sin x $，$ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] $ 的函数图象吗？

答案：
【问题1】提示

1. 正弦函数的单调性
在每一个闭区间 $ [2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}] $($ k \in \mathbf{Z} $)上都单调递增，其值从$-1$增大到$1$；在每一个闭区间 $ [2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}] $($ k \in \mathbf{Z} $)上都单调递减，其值从$1$减小到$-1$。

答案： 1.单调递增 单调递减

2. 余弦函数的单调性
在每一个闭区间 $ [2k\pi - \pi, 2k\pi] $($ k \in \mathbf{Z} $)上都单调递增，其值从$-1$增大到$1$；在每一个闭区间 $ [2k\pi, 2k\pi + \pi] $($ k \in \mathbf{Z} $)上都单调递减，其值从$1$减小到$-1$。

答案： 2.单调递增 单调递减

【例1】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。
(1) $ \cos \frac{15\pi}{8} $，$ \cos \frac{14\pi}{9} $；
(2) $ \cos 1 $，$ \sin 1 $；
(3) $ \sin 164^{\circ} $与 $ \cos 110^{\circ} $。

答案： 【例1】解
(1)$\cos \frac {15\pi}{8}=\cos \frac {\pi}{8}$，$\cos \frac {14\pi}{9}=\cos \frac {4\pi}{9}$，
因为$0＜\frac {\pi}{8}＜\frac {4\pi}{9}＜\pi$，又$y = \cos x$在$[0,\pi]$上单调递减，
所以$\cos \frac {\pi}{8}＞\cos \frac {4\pi}{9}$，即$\cos \frac {15\pi}{8}＞\cos \frac {14\pi}{9}$.
(2)因为$\cos 1 = \sin \left(\frac {\pi}{2} - 1\right)$，又$0＜\frac {\pi}{2} - 1＜1＜\frac {\pi}{2}$，且$y = \sin x$在$\left[0,\frac {\pi}{2}\right]$上单调递增，
所以$\sin \left(\frac {\pi}{2} - 1\right)＜\sin 1$，即$\cos 1＜\sin 1$.
(3)$\sin 164^{\circ}=\sin(180^{\circ}-16^{\circ})=\sin 16^{\circ}$，
$\cos 110^{\circ}=\cos(90^{\circ}+20^{\circ})=-\sin 20^{\circ}$.
因为$y = \sin x$在$\left[-\frac {\pi}{2},\frac {\pi}{2}\right]$上单调递增，
所以$-\sin 20^{\circ}＜\sin 16^{\circ}$，
即$\cos 110^{\circ}＜\sin 164^{\circ}$.
　　　　

(1) 下列关系式中正确的是()

A.$ \sin 11^{\circ} ＜ \sin 168^{\circ} ＜ \cos 10^{\circ} $
B.$ \sin 168^{\circ} ＜ \sin 11^{\circ} ＜ \cos 10^{\circ} $
C.$ \sin 11^{\circ} ＜ \cos 10^{\circ} ＜ \sin 168^{\circ} $
D.$ \sin 168^{\circ} ＜ \cos 10^{\circ} ＜ \sin 11^{\circ} $

答案：
(1)A因为$\sin 168^{\circ}=\sin 12^{\circ}$，$\cos 10^{\circ}=\sin 80^{\circ}$，所以只需比较$\sin 11^{\circ}$，$\sin 12^{\circ}$，$\sin 80^{\circ}$的大小.因为$y = \sin x$在$\left(0,\frac {\pi}{2}\right)$上单调递增，所以$\sin 11^{\circ}＜\sin 12^{\circ}＜\sin 80^{\circ}$，
即$\sin 11^{\circ}＜\sin 168^{\circ}＜\cos 10^{\circ}$.
(2)B因为$\alpha$，$\beta$是锐角三角形的两个内角，故有$\alpha + \beta ＞\frac {\pi}{2}$，所以$0＜\frac {\pi}{2} - \beta＜\alpha＜\frac {\pi}{2}$，
所以$\cos \alpha ＜\cos \left(\frac {\pi}{2} - \beta\right)=\sin \beta$.

(2) 已知 $ \alpha $，$ \beta $ 为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()

A.$ \sin \alpha ＜ \sin \beta $
B.$ \cos \alpha ＜ \sin \beta $
C.$ \cos \alpha ＜ \cos \beta $
D.$ \cos \alpha ＞ \cos \beta $

答案： B