《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

若幂函数y=x^m与y=x^n在第一象限内的图象如图所示，则(B)


A.−1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ 1
B.n ＜ −1，0 ＜ m ＜ 1
C.−1 ＜ n ＜ 0，m ＞ 1
D.n ＜ −1，m ＞ 1

答案： 【跟踪训练2】 B 由图象知，$y=x^{m}$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$m＞0$，由于$y=x^{m}$的图象增长的越来越慢，所以$m＜1$，$y=x^{n}$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$n＜0$，又当$x＞1$时，$y=x^{n}$的图象在$y=x^{-1}$的下方，所以$n＜-1$．

【例3】（1）比较下列各组数中两个数的大小：
$①(2/5)^{0.3}$与$(1/3)^{0.3}；$
$②(−2/3)^{−1}$与$(−3/5)^{−1}；$
$③(√2/2)^{−1/2}$与$√5^{1/4}。$

答案： 【例3】 解
(1)①因为幂函数$y=x^{0.3}$在$(0,+\infty)$上是增函数，又$\frac{2}{5}＞\frac{1}{3}$，所以$(\frac{2}{5})^{0.3}＞(\frac{1}{3})^{0.3}$．
②因为幂函数$y=x^{-1}$在$(-\infty,0)$上是减函数，又$-\frac{2}{3}＜-\frac{3}{5}$，所以$(-\frac{2}{3})^{-1}＞(-\frac{3}{5})^{-1}$．
③$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{2}^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{4}}$，
因为幂函数$y=x^{\frac{1}{4}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，又$2＜\sqrt{5}$，$\therefore2^{\frac{1}{4}}＜\sqrt{5}^{\frac{1}{4}}$，
即$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{-\frac{1}{2}}＜\sqrt{5}^{\frac{1}{4}}$．

(2)已知幂函数$f(x)=(m²−2m+1)x^{m−3/2}$的图象过点(4,2)。
①求f(x)的解析式；
②判断函数的单调性，并进行证明；
③若f(a+1) ＞ f(2a−3)，求实数a的取值范围。

答案：

(2)①因为$f(x)=(m^{2}-2m + 1)x^{m-\frac{3}{2}}$为幂函数，所以$m^{2}-2m + 1=1$，$\therefore m=2$或$m=0$．
当$m=2$时，$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$，图象过点$(4,2)$；
当$m=0$时，$f(x)=x^{-\frac{3}{2}}$，图象不过点$(4,2)$，舍去．
综上，$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$．
②函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上为增函数．
设$x_{1},x_{2}\in[0,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}=\frac{x_{1}-x_{2}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}$
因为$0\leq x_{1}＜x_{2}$，$\frac{x_{1}-x_{2}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}＜0$，
即$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，所以$f(x_{1})＜f(x_{2})$．所以函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上为增函数．
③函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上为增函数，由$f(a + 1)＞f(2a - 3)$，则$\begin{cases}a + 1＞2a - 3,\\2a - 3\geq0,\end{cases}$得$\frac{3}{2}\leq a＜4$．
综上，$a$的取值范围为$[\frac{3}{2},4)$．

已知函数$f(x)=x^{1/(m + m)}(m∈N*)。$若该函数图象经过点(2,√2)，试确定m的值，并求满足条件f(2−a) ＞ f(a−1)的实数a的取值范围。

答案： 【跟踪训练3】 解 $\because$该函数图象过点$(2,\sqrt{2})$，
$\therefore\frac{1}{2}m^{2}+m=\sqrt{2}$，
$\therefore m^{2}+2m - 2\sqrt{2}=0$，$\therefore m=1$或$m=-2$（舍去），
$\therefore f(x)=x^{\frac{1}{2}}$．
由$f(2 - a)＞f(a - 1)$，得$\begin{cases}2 - a\geq0,\\a - 1\geq0,\\2 - a＞a - 1,\end{cases}$
解得$1\leq a＜\frac{3}{2}$
故$m$的值为1，满足条件$f(2 - a)＞f(a - 1)$的实数$a$的取值范围为$[1,\frac{3}{2})$．