《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 1】(多选)已知实数 $a$，$b$，$c$，$d$ 满足 $a ＞ b ＞ c ＞ d$，则下列选项中不正确的是()

A.$a + d ＞ b + c$
B.$a + c ＞ b + d$
C.$ad ＞ bc$
D.$ac ＞ bd$

答案： ACD不妨设$a=2,b=1,c=0,d=-1$,
此时$a+d=b+c=1$,故A错误；
$ad=-2＜bc=0$,故C错误；
设$a=-3,b=-4,c=-5,d=-6$,
则$ac=15＜bd=24$,故D错误；
因为$a＞b,c＞d$,根据不等式的性质
同向可加性得$a+c＞b+d$,故B正确.

(多选)若 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} ＜ 0$，则下面四个不等式成立的有()

A.$|a| ＞ |b|$
B.$a ＜ b$
C.$a + b ＜ ab$
D.$a^3 ＞ b^3$

答案： CD由$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}＜0$可得$b＜a＜0$,从而$|a|＜|b|$,A,B均
不正确;$a+b＜0,ab＞0$,则$a+b＜ab$成立,C正确;$a^{3}＞b^{3}$,D正确.

【例 2】已知 $c ＞ a ＞ b ＞ 0$，求证：$\frac{a}{c - a} ＞ \frac{b}{c - b}$.

答案： 证明$\frac{a}{c-a}-\frac{b}{c-b}=\frac{a(c-b)-b(c-a)}{(c-a)(c-b)}$
$=\frac{ac-ab-bc+ab}{(c-a)(c-b)}=\frac{c(a-b)}{(c-a)(c-b)}$,
$\because c＞a＞b＞0$,
$\therefore a-b＞0,c-a＞0,c-b＞0$,
$\therefore\frac{a}{c-a}＞\frac{b}{c-b}$.

已知 $a ＞ b ＞ 0$，$c ＜ 0$，证明：$\frac{c}{a} ＞ \frac{c}{b}$.

答案： 证明方法一$\frac{c}{a}-\frac{c}{b}=\frac{c(b-a)}{ab}$
$\because a＞b＞0,c＜0$,
$\therefore ab＞0,b-a＜0,c(b-a)＞0$,
$\therefore\frac{c}{a}-\frac{c}{b}＞0,\therefore\frac{c}{a}＞\frac{c}{b}$.
方法二$\because a＞b＞0,\therefore\frac{1}{b}＞\frac{1}{a}＞0$,
$\because c＜0,\therefore\frac{c}{b}＜\frac{c}{a}$,即$\frac{c}{a}＞\frac{c}{b}$.