《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 1】回顾上节课我们推导公式二的过程。

答案： 提示利用了单位圆的对称性，作了点$P_1$关于原点对称的点．

【问题 2】观察右图，我们作了点 $ P_1 $ 关于直线 $ y = x $ 的对称点 $ P_5 $，你能发现这两点有什么关系吗？

答案： 提示如图，过点$P_1$向$x$轴作垂线，垂足为$A$，过点$P_5$向$y$轴作垂线，垂足为$B$，由图象的对称性可知，$\angle AOP_1 = \angle BOP_5 = \alpha$，故$OP_5$为$y = \frac{\pi}{2} - \alpha$的终边，以$OP_5$为终边的角$\gamma$可以表示为$\gamma = 2k\pi + (\frac{\pi}{2} - \alpha)(k \in \mathbb{Z})$，在$Rt\triangle AOP_1$和$Rt \triangle BOP_5$中，$OP_1 = OP_5$，故$\triangle AOP_1 \cong \triangle BOP_5$，即$P_1$的横坐标与$P_5$的纵坐标相同，$P_1$的纵坐标与$P_5$的横坐标相同，若点$P_1$的坐标为$(x,y)$，则点$P_5$的坐标为$(y,x)$（同学们还记得我们当初学习对数函数时，提到过反函数是关于$y = x$对称的，定义域和值域的范围互换，是不是和此处有相似之处），现在我们知道了两角的终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义，于是我们可以得到$\sin \alpha = y$，$\cos \alpha = x$；$\cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = y$，$\sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$．大家自己动手，如果我们作$P_5$关于$y$轴的对称点$P_6$，此时它和$P_1$，$P_5$这两点有什么关系？

【例 1】（教材 193 页例 4 改编）已知 $ f(\alpha) = \frac{\sin\left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right)\cos\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right)\tan(\pi + \alpha)\cos\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right)}{\sin(2\pi - \alpha)\tan(-\alpha - \pi)\sin(-\alpha - \pi)} $，化简 $ f(\alpha) $。

答案： 解由题意得$f(\alpha)$
$ = \frac{ - \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha)( - \sin \alpha)\tan \alpha( - \sin \alpha)}{\sin ( - \alpha)( - \tan \alpha)[ - \sin (\pi + \alpha)]}$
$ = \frac{ - \cos \alpha( - \sin \alpha)\tan \alpha( - \sin \alpha)}{ - \sin \alpha( - \tan \alpha)\sin \alpha} = - \cos \alpha$，
故$f(\alpha) = - \cos \alpha$．

【跟踪训练 1】化简：$ \frac{\sin(\theta - 5\pi)\cos\left( -\frac{\pi}{2} - \theta \right)\cos(8\pi - \theta)}{\sin\left( \theta - \frac{3\pi}{2} \right)\sin(-\theta - 4\pi)} $ 等于(A)

A.$ -\sin \theta $
B.$ \sin \theta $
C.$ \cos \theta $
D.$ -\cos \theta $

答案： A原式$ = \frac{\sin (\theta - \pi)\cos (\frac{\pi}{2} + \theta)\cos \theta}{\cos \theta\sin ( - \theta)}$
$ = \frac{( - \sin \theta)( - \sin \theta)\cos \theta}{\cos \theta( - \sin \theta)} = - \sin \theta$．