《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 已知函数 $ f(x) = \log_{2}x $，若函数 $ g(x) $ 是 $ f(x) $ 的反函数，则 $ f(g(2)) $ 等于()

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

2. 若点 $ (a, b) $ 在函数 $ y = \lg x $ 的图象上，$ a \neq 1 $，则下列点也在此图象上的是()

A.$ \left( \frac{1}{a}, b \right) $
B.$ (10a, 1 - b) $
C.$ \left( \frac{10}{a}, b + 1 \right) $
D.$ (a^{2}, 2b) $

答案： D

3. 若函数 $ f(x) = a^{x} + \log_{a}(x + 1) $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)在 $ [0, 1] $ 上的最大值和最小值之和为 $ a $，则 $ a $ 的值为()

A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.2
D.4

答案： B

4. 若函数 $ y = f(x) $ 是函数 $ y = a^{x} $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的反函数，其图象经过点 $ (\sqrt[3]{2}, \frac{2}{3}) $，则 $ a = $.

答案： $\sqrt{2}$

【例 1】(1) 函数 $ y = 3^{\frac{1}{x}} $ 的单调递减区间是()

A.$ (-\infty, +\infty) $
B.$ (-\infty, 0) $
C.$ (0, +\infty) $
D.$ (-\infty, 0) $ 和 $ (0, +\infty) $

答案： D

(2) 判断函数 $ f(x) = \left( \frac{1}{3} \right)^{x^{2} - 2x} $ 的单调性，并求其值域.

答案： 解 令$u=x^2-2x$，
易知$u=x^2-2x=(x-1)^2-1$在$(-\infty,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，
所以$f(x)=(\frac{1}{3})^{x^2-2x}$在$(-\infty,1]$上单调递增，在$[1,+\infty)$上单调递减.
因为$u=x^2-2x=(x-1)^2-1\geq-1$，
所以$y=(\frac{1}{3})^u,u\in[-1,+\infty)$，
所以$0＜(\frac{1}{3})^u\leq(\frac{1}{3})^{-1}=3$，
所以函数$f(x)$的值域为$(0,3]$.

函数 $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{x^{2} - 2} $ 的单调递减区间为()

A.$ (-\infty, 0] $
B.$ [0, +\infty) $
C.$ (-\infty, \sqrt{2}] $
D.$ [\sqrt{2}, +\infty) $

答案： B