《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【例 1】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是$T_0$，经过一定时间$t(min)$后的温度是$T(^{\circ}C)$，则$T - T_a = (T_0 - T_a) × (\frac{1}{2})^{\frac{t}{h}}$，其中$T_a$表示环境温度，$h$称为半衰期，现有一杯用$88^{\circ}C$热水冲的速溶咖啡，放在$24^{\circ}C$的房间中，如果咖啡降温到$40^{\circ}C$需要$20\ min$，那么降温到$32^{\circ}C$时，需要多少时间？

答案： 【例1】解 由题意知$40 - 24=(88 - 24)×(\frac{1}{2})^{\frac{t}{h}}$
则$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^{\frac{20}{h}}$，解得$h = 10$，
故原式可化简为$T - 24=(88 - 24)×(\frac{1}{2})^{\frac{t}{10}}$
当$T = 32$时，代入上式，得$32 - 24=(88 - 24)×(\frac{1}{2})^{\frac{t}{10}}$
则$(\frac{1}{2})^{\frac{t}{10}}=(\frac{1}{2})^{3}$，所以$t = 30$.
因此，降温到$32^{\circ}C$需要$30\ min$.

在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度$v(m/s)$和燃料的质量$M(kg)$、火箭(除燃料外)的质量$m(kg)$的函数关系式是$v = 2000 · \ln(1 + \frac{M}{m})$. 当燃料质量是火箭质量的$e^{6}-1$倍时，火箭的最大速度可达$12$千米/秒.

答案： 【跟踪训练1】$e^{6}-1$ 当$v = 12000\ m/s$时，$2000·\ln(1+\frac{M}{m}) = 12000$，
则$\ln(1+\frac{M}{m}) = 6$，所以$\frac{M}{m}=e^{6}-1$.

【例 2】据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约$1000$只，并以平均每年$8\%$的速度增加.
(1) 求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2) 写出$y$(珍稀鸟类的个数)关于$x$(经过的年数)的函数关系式；
(3) 约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的$3$倍或以上？(结果为整数)(参考数据：$\lg 2 \approx 0.3010,\lg 3 \approx 0.4771$)

答案： 【例2】解
(1)依题意，得一年后这种鸟类的个数为$1000 + 1000×8\% = 1080$，
两年后这种鸟类的个数为$1080 + 1080×8\%≈1166$.
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数为$1000$只，并以平均每年$8\%$的速度增加，
则所求的函数关系式为$y = 1000×1.08^{x}$，$x∈N$.
(3)令$1000×1.08^{x}≥3×1000$，得$1.08^{x}≥3$，两边取常用对数得
$\lg1.08^{x}≥\lg3$，
即$x\lg1.08≥\lg3$.
因为$\lg1.08＞0$，所以$x≥\frac{\lg3}{\lg1.08}$
所以$x≥\frac{\lg3}{\lg\frac{108}{100}}=\frac{\lg3}{\lg108 - 2}$
因为$\lg108 = \lg(3^{3}×2^{2}) = 3\lg3 + 2\lg2$，
所以$x≥\frac{\lg3}{3\lg3 + 2\lg2 - 2}≈\frac{0.4771}{3×0.4771 + 2×0.3010 - 2}≈14.3$，
故约经过$15$年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的$3$倍或以上.