《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

【问题 1】阅读课本 111 页～113 页，你有什么样的收获？

答案： 提示　由课本问题1中可知，B地景区的游客人次的年增长率是一个常数，问题2中的衰减率也是一个常数.函数$y = 1.11^x$ ($x\in[0,+\infty)$)与函数$y = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{5730}\right)(x\in[0,+\infty)$)的函数解析式都是指数形式，底数为定值，自变量在指数位置.

指数函数的概念：一般地，函数$y=a^x$($a＞0$，且$a≠1$)叫做指数函数，其中指数$x$是自变量，函数的定义域是$\mathbf{R}$。

答案： $y=a^x$

【例 1】(1) 给出下列函数：①$y = 2· 3^{x}$；②$y = 3^{x + 1}$；③$y = 3^{x}$；④$y = x^{3}$；⑤$y = (-2)^{x}$。其中，指数函数的个数是(B)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$4$

答案：
(1)B　①中，$3^x$的系数是2，故①不是指数函数；②中，$y = 3^{x + 1}$的指数是$x + 1$，不是自变量$x$，故②不是指数函数；③中，$3^x$的系数是1，幂的指数是自变量$x$，且只有$3^x$一项，故③是指数函数；④中，$y = x^3$的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数$-2 ＜ 0$，不是指数函数.

(2) 若函数$y = (2a - 1)^{x}$($x$是自变量)是指数函数，则$a$的取值范围是(C)

A.$(0,1)\cup(1,+\infty)$
B.$[0,1)\cup(1,+\infty)$
C.$(\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)$
D.$[\frac{1}{2},+\infty)$

答案：
(2)C依题意得$2a - 1 ＞ 0$，且$2a - 1\neq1$，
解得$a ＞ \frac{1}{2}$，且$a\neq1$，即$a$的取值范围是$\left(\frac{1}{2},1\right)\cup(1,+\infty)$

【跟踪训练 1】(1) 下列是指数函数的是(D)

A.$y = -3^{x}$
B.$y = 2^{x^{2}-1}$
C.$y = a^{x}$
D.$y = \pi^{x}$

答案：
(1)D　根据指数函数的特征知，A，B，C不是指数函数.

(2) 若函数$y = (a^{2}-3a + 3)· a^{x}$是指数函数，则$a$的值为2。

答案：
(2)2　由指数函数的定义知$\begin{cases}a^2 - 3a + 3 = 1,①\\a ＞ 0且a\neq1,②\end{cases}$
由①得$a = 1$或$2$，结合②得$a = 2$.