《2026年学易优同步学案导学高中数学必修第一册人教版》

1. 函数 $ y = 2^{x + 1} $ 的图象是(A)

答案： 1 A 当x=0时,y=2,且函数单调递增.

2. 函数 $ y = 2^{\frac{x - 1}{x}} - 1 $ 的定义域是(C)

A.$\mathbf{R}$
B.$ \{ x | x \neq 1 \} $
C.$ \{ x | x \neq 0 \} $
D.$ \{ x | x \neq 0 $ 且 $ x \neq 1 \} $

答案： 2 C 要使$y=2^{\frac{x}{x-1}}-1$有意义，只需$\frac{x}{x-1}$有意义，即x≠0.

3. 函数 $ f(x) = 3 - a^{x + 1} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 的图象恒过定点(A)

A.$ (-1,2) $
B.$ (1,2) $
C.$ (-1,1) $
D.$ (0,2) $

答案： 3 A
∵$y=a^{x}$的图象恒过定点(0,1)，
∴令x+1=0,即x=-1，则f(-1)=2.
故$f(x)=3-a^{x+1}$的图象恒过定点(-1,2).

4. 函数 $ y = 0.7^{\frac{1}{x^2 - 1}} $ 的定义域为{x|x≠±1}.

答案： 4 {x|x≠±1} 由$x^{2}-1≠0,$得x≠±1,
∴函数$y=0.7_{x2-1}$的定义域为{x|x≠±1}.

【例 1】(1) $1.1^{1.1},1.1^{0.9}$；(2) $0.1^{-0.2},0.1^{0.9}$；(3) $3^{0.1},π^{0.1}$；(4) $1.7^{0.1},0.9^{1.1}$；(5) $0.7^{0.8},0.8^{0.7}$.

答案： 解
(1)因为$y = 1.1^{x}$是增函数，$1.1＞0.9$，故$1.1^{1.1}＞1.1^{0.9}$。
(2)因为$y = 0.1^{x}$是减函数，$-0.2＜0.9$，故$0.1^{-0.2}＞0.1^{0.9}$。
(3)因为$y = x^{0.1}$在$(0,+\infty)$上单调递增，$3＜\pi$，故$3^{0.1}＜\pi^{0.1}$。
(4)因为$1.7^{0.1}＞1.7^{0}=1$，$0.9^{1.1}＜0.9^{0}=1$，故$1.7^{0.1}＞0.9^{1.1}$。
(5)取中间值$0.7^{0.7}$，因为$0.7^{0.8}＜0.7^{0.7}＜0.8^{0.7}$，故$0.7^{0.8}＜0.8^{0.7}$ （也可取中间值$0.8^{0.8}$，即$0.7^{0.8}＜0.8^{0.8}＜0.8^{0.7}$）。

(1) 下列大小关系正确的是(B)

A.$0.4^{3}＜3^{0.4}＜π^{0}$
B.$0.4^{3}＜π^{0}＜3^{0.4}$
C.$3^{0.4}＜0.4^{3}＜π^{0}$
D.$π^{0}＜3^{0.4}＜0.4^{3}$

答案：
(1)B $0.4^{3}＜0.4^{2}=1=0.8^{0}=3^{0}＜0.8^{0.4}＜3^{0.4}$

(2) 设 $a = 0.6^{0.6},b = 0.6^{1.5},c = 1.5^{0.6}$，则 $a,b,c$ 的大小关系是(C)

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$

答案：
(2)C $\because1.5^{0.6}＞1.5^{0}=1$，$0.6^{0.6}＜0.6^{0}=1$，
故$1.5^{0.6}＞0.6^{0.6}$，
又函数$y = 0.6^{x}$在R上是减函数，且$1.5＞0.6$，
$\therefore0.6^{1.5}＜0.6^{0.6}$，故$0.6^{1.5}＜0.6^{0.6}＜1.5^{0.6}$。
即$b＜a＜c$。