《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. 如图，某校项目化学习小组开展项目活动，过程如下。
项目主题：测量怀仁塔底座的直径。
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？
组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机。确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，记录数据，然后计算底座的直径。
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：

请你选择上述两种方案中的一种，计算怀仁塔底座的直径AB。

答案： 1. 怀仁塔底座的直径 AB 为 52.5 m.

2. 综合探究：探索等腰三角形中相等的线段。
【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究。
【问题初探】（1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1.在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.经过合作，该小组的同学得出的结论是DE=DF.他们的证法如下。
证明：如图1，∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵AB=AC，∴∠B=∠C（依据1）.
∵D是BC的中点，∴BD=CD.
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DEB=∠DFC, \\∠B=∠C, \\BD=CD,\end{array}\right.$
∴△BDE≌△CDF（依据2），
∴DE=DF.
①请写出依据1和依据2的内容。
依据1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；
依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法。

【问题再探】（2）未来小组的同学经过探究又有新的发现：若在等腰三角形ABC中，作腰AB上的高CG，如图3，则CG与DE有确定的数量关系.请你直接写出这个数量关系：CG=2DE.
【类比探究】（3）奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在图4中，若DE、DF分别为△ABD和△ACD的中线，则DE=DF仍然成立；②在图5中，若DE、DF分别为△ABD和△ACD的角平分线，则DE=DF仍然成立.请你选择其中一个结论，写出证明过程.

答案： （1）
①依据1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。
②证明：连接$AD$。
因为$AB = AC$，点$D$是$BC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$AD$是$\angle BAC$的平分线。
又因为$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DF$。
（2）
连接$AD$，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$\frac{1}{2}AB· CG=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$。
因为$AB = AC$，所以$CG = DE + DF$，又因为（1）中已证$DE = DF$，所以$CG = 2DE$。
（3）选择结论①：
证明：因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
因为$DE$、$DF$分别为$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的中线，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}AC$，又因为$AB = AC$，所以$BE = CF$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle B=\angle C\\BE = CF\end{array}\right.$，
所以$\triangle BDE\cong\triangle CDF(SAS)$，所以$DE = DF$。
选择结论②：
证明：因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
因为$DE$、$DF$分别为$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的角平分线，所以$\angle BDE=\frac{1}{2}\angle ADB$，$\angle CDF=\frac{1}{2}\angle ADC$。
因为$\angle ADB+\angle ADC = 180^{\circ}$，所以$\angle BDE+\angle CDF = 90^{\circ}$。
又因为$\angle B+\angle BDE+\angle BED = 180^{\circ}$，$\angle C+\angle CDF+\angle CFD = 180^{\circ}$，且$\angle B=\angle C$，所以$\angle BED=\angle CFD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle C\\BD = CD\\\angle BED=\angle CFD\end{array}\right.$，
所以$\triangle BDE\cong\triangle CDF(ASA)$，所以$DE = DF$。
综上，答案依次为：（1）①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；②如上述证明；（2）$CG = 2DE$；（3）如上述证明（选择其中一个结论的证明过程即可）。