《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

4. 已知$\triangle ABC$为等边三角形，点$D$为$AC$上的一个动点，点$E$为$BC$延长线上一点，且$DB=DE$.
（1）如图 1，若点$D$在边$AC$上，猜想线段$AD$与$CE$之间的关系，并说明理由.
（2）如图 2，若点$D$在$AC$的延长线上，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

答案： 1. （1）
解：$AD = CE$。
理由：过点$D$作$DF// BC$交$AB$于点$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC = \angle ACB=60^{\circ}$。
又因为$DF// BC$，所以$\angle AFD=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ADF=\angle ACB = 60^{\circ}$，则$\triangle ADF$是等边三角形，所以$AD = DF$，$\angle BFD = 120^{\circ}$。
因为$\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\angle DCE = 120^{\circ}$。
因为$DB = DE$，所以$\angle DBC=\angle E$。
又因为$\angle FDB+\angle DBC=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle E+\angle CDE=\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\angle FDB=\angle CDE$。
在$\triangle BFD$和$\triangle DCE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BFD=\angle DCE\\\angle FDB=\angle CDE\\DB = DE\end{array}\right.$
根据$AAS$（角角边）定理，$\triangle BFD\cong\triangle DCE$。
所以$DF = CE$，又因为$AD = DF$，所以$AD = CE$。
2. （2）
解：（1）中的结论仍然成立，即$AD = CE$。
理由：过点$D$作$DF// BC$交$AB$的延长线于点$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$。
因为$DF// BC$，所以$\angle AFD=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ADF=\angle ACB = 60^{\circ}$，则$\triangle ADF$是等边三角形，所以$AD = DF$，$\angle BFD=\angle DCE = 60^{\circ}$。
因为$DB = DE$，所以$\angle DBC=\angle E$。
因为$\angle FDB+\angle DBC = 180^{\circ}-\angle ABC = 120^{\circ}$，$\angle E+\angle CDE=180^{\circ}-\angle ACB = 120^{\circ}$，且$\angle DBC=\angle E$，所以$\angle FDB=\angle CDE$。
在$\triangle BFD$和$\triangle DCE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BFD=\angle DCE\\\angle FDB=\angle CDE\\DB = DE\end{array}\right.$
根据$AAS$（角角边）定理，$\triangle BFD\cong\triangle DCE$。
所以$DF = CE$，又因为$AD = DF$，所以$AD = CE$。
综上，（1）$AD = CE$；（2）（1）中的结论成立。

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠BAC=120^{\circ }$，$AD⊥BC$，垂足为点$D$，且$AB+BD=DC$，求$∠C$的度数.（用截长法与补短法两种方法解答）

答案： 5. $\angle C = 20^{\circ}$

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$∠BAC=80^{\circ }$，$O$为$\triangle ABC$内一点，且$∠OBC=10^{\circ }$，$∠OCA=20^{\circ }$，求$∠BAO$的度数.

答案： 6. $70^{\circ}$