《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

2. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是假（填“真”或“假”）命题.

答案： 2.假

3. 命题“如果一个三角形有两个锐角互余，那么它是直角三角形”的逆命题是直角三角形的两个锐角互余.

答案： 3.直角三角形的两个锐角互余

4. 下列命题中，其逆命题是真命题的是①（填序号）.
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

答案： 4.①

5. 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，请举出一个反例说明.
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
（3）相等的角是内错角；
（4）等底等高的三角形面积相等.

答案： 5.
(1)同位角相等，两直线平行，真命题.
(2)在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线，真命题.
(3)内错角相等，假命题.
(4)面积相等的三角形等底等高，假命题.例如，底边是2，高是4的三角形与底边是4，高是2的三角形.

6. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题，还是假命题？若是真命题，请证明；若是假命题，请举反例说明.

答案： 6.逆命题:有一边的中线等于该边一半的三角形是直角三角形.该逆命题是真命题.证明略.

7. （推理能力）学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为该定理的逆命题应该也是真命题，于是他做了如下探究.
（1）如图1，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$AD\perp BC$，求证：$AB = AC$. 请你帮助他完成证明.
（2）接下来，他又想到一个问题：“如图2，若在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$BD = CD$，则$AB = AC$”. 请你判断该问题是否一定成立，若一定成立，请你证明；若不一定成立，请说明理由.

答案： （1）证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC。
（2）一定成立。证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）。