《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

8. 如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O分别交AB、AC于点M、N，且MN//BC.
(1)求证：MN=BM+CN.
(2)若AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
(3)如图2，若点E是∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，线段MN、BM、CN之间有何数量关系？请给予证明.

答案： $(1)$ 证明$MN = BM + CN$
解（证明）：
因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle MBO=\angle OBC$。
又因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle MOB = \angle OBC$。
所以$\angle MBO=\angle MOB$，根据等角对等边，可得$MB = MO$。
同理，因为$CO$平分$\angle ACB$，$MN// BC$，可得$\angle NOC=\angle OCB$，$\angle NCO=\angle OCB$，所以$\angle NOC=\angle NCO$，则$NC = NO$。
因为$MN=MO + NO$，所以$MN = BM + CN$。
$(2)$ 求$\triangle AMN$的周长
解：
$\triangle AMN$的周长$=AM + AN + MN$。
由$(1)$知$MN = BM + CN$，所以$\triangle AMN$的周长$=AM + AN + BM + CN=(AM + BM)+(AN + CN)=AB + AC$。
已知$AB = 12$，$AC = 18$，所以$\triangle AMN$的周长为$12 + 18=30$。
$(3)$ 探究线段$MN$、$BM$、$CN$之间的数量关系并证明
解（证明）：
数量关系为$MN=BM - CN$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle MBE=\angle EBC$。
又因为$MN// BC$，所以$\angle MEB=\angle EBC$，则$\angle MBE=\angle MEB$，根据等角对等边，可得$MB = ME$。
因为$CE$平分$\angle ACG$，所以$\angle NCE=\angle ECG$。
又因为$MN// BC$，所以$\angle NEC=\angle ECG$，则$\angle NCE=\angle NEC$，所以$NC = NE$。
因为$MN=ME - NE$，所以$MN = BM - CN$。
综上，答案依次为：$(1)$ 证明过程如上述；$(2)$$\boldsymbol{30}$；$(3)$$\boldsymbol{MN = BM - CN}$，证明过程如上述。

9. （推理能力）在等边三角形ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.
(1)如图1，若E是AB的中点，求证：BD=AE.
(2)如图2，若点E不是AB的中点，(1)中的结论“BD=AE”是否仍成立？若不成立，请直接写出BD与AE之间的数量关系；若成立，请给予证明.

答案： 1. （1）证明：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$E$是$AB$中点，所以$\angle ABC = 60^{\circ}$，$CE$平分$\angle ACB$（等边三角形三线合一），$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$，$AE = BE$。
又因为$EC = ED$，所以$\angle D=\angle ECB = 30^{\circ}$。
根据三角形外角性质，$\angle ABC=\angle D+\angle BED$，则$\angle BED=\angle ABC - \angle D$。
把$\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle D = 30^{\circ}$代入得$\angle BED=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
所以$\angle D=\angle BED$，根据等角对等边，$BD = BE$。
又因为$AE = BE$，所以$BD = AE$。
2. （2）结论$BD = AE$仍然成立。
证明：过$E$作$EF// BC$交$AC$于$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$。
由于$EF// BC$，所以$\angle AEF=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle AFE=\angle ACB = 60^{\circ}$，则$\triangle AEF$是等边三角形（三个角都是$60^{\circ}$的三角形是等边三角形），所以$AE = EF$，$\angle CFE = 180^{\circ}-\angle AFE=120^{\circ}$，$\angle EBD = 180^{\circ}-\angle ABC = 120^{\circ}$，所以$\angle CFE=\angle EBD$。
因为$EC = ED$，所以$\angle D=\angle ECB$。
又因为$\angle FEC+\angle ECB=\angle AFE = 60^{\circ}$，$\angle D+\angle BED=\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle FEC=\angle BED$。
在$\triangle EFC$和$\triangle EBD$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle CFE=\angle EBD\\ EF = AE\\ \angle FEC=\angle BED\end{array}\right.$（已证$AE = EF$）
根据$ASA$（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），$\triangle EFC\cong\triangle EBD$。
所以$BD = FC$，又因为$AE = EF$，$\triangle AEF$是等边三角形，$FC = AE$，所以$BD = AE$。
综上，（1）得证$BD = AE$；（2）$BD = AE$成立。