《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

4. 求证：四边形的内角和为 $360^{\circ}$。（画出图形，写出已知、求证并完成证明）

答案： 答题卡：
图形：画一个任意四边形$ABCD$。
已知：四边形$ABCD$。
求证：四边形$ABCD$的内角和为$360^{\circ}$。
证明：
连接对角线$AC$，将四边形$ABCD$分割成两个三角形，即$\triangle ABC$和$\triangle ADC$。
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为$180^{\circ}$。
所以，$\triangle ABC$的内角和为$180^{\circ}$，$\triangle ADC$的内角和也为$180^{\circ}$。
由于$\angle BAC + \angle B + \angle BCA = 180^{\circ}$，$\angle DAC + \angle D + \angle DCA = 180^{\circ}$，
将两式相加，得到：
$\angle BAC + \angle B + \angle BCA + \angle DAC + \angle D + \angle DCA = 360^{\circ}$。
注意到$\angle BAC + \angle DAC = \angle BAD$，$\angle BCA + \angle DCA = \angle BCD$，
所以，四边形$ABCD$的内角和为$\angle BAD + \angle B + \angle BCD + \angle D = 360^{\circ}$。
结论：四边形$ABCD$的内角和为$360^{\circ}$，得证。

5. （1）利用“两直线平行，同位角相等”证明：两直线平行，内错角相等。（画出图形，写出已知、求证并完成证明）
（2）已知：如图，直线 $AB // CD$，$\angle 1$，$\angle 2$ 和 $\angle 3$ 是直线 $AB$、$CD$ 被直线 $EF$ 所截的角。
求证：$\angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$。

答案： （1）
图形：（自行绘制）直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，形成∠EGB（∠1）、∠AGH（∠3）、∠GHD（∠2），其中∠3与∠2为内错角。
已知：AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠AGH与∠GHD是内错角。
求证：∠AGH=∠GHD。
证明：
∵AB//CD（已知），
∴∠EGB=∠GHD（两直线平行，同位角相等）。
∵∠EGB=∠AGH（对顶角相等），
∴∠AGH=∠GHD（等量代换）。
（2）
证明：
∵AB//CD（已知），
∴∠2=∠AGF（两直线平行，内错角相等，由（1）已证）。
∵∠AGF+∠3=180°（邻补角的定义），
∴∠2+∠3=180°（等量代换）。

6. [2024 春·嘉兴桐乡市月考]如图，已知 $\angle ABD = 100^{\circ}$，且 $BC$ 平分 $\angle ABD$，$\angle 1 = 50^{\circ}$。
（1）求证：$AB // CD$；
（2）求 $\angle 2$ 的度数。

答案： 1. （1）证明$AB// CD$：
解：因为$BC$平分$\angle ABD$，$\angle ABD = 100^{\circ}$，根据角平分线定义$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle ABD$。
所以$\angle ABC=\frac{1}{2}×100^{\circ}=50^{\circ}$。
又因为$\angle 1 = 50^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle 1$。
根据内错角相等，两直线平行（$\angle ABC$与$\angle 1$是内错角），可得$AB// CD$。
2. （2）求$\angle 2$的度数：
解：因为$AB// CD$，$\angle 2$与$\angle ABD$是同旁内角。
根据两直线平行，同旁内角互补，即$\angle 2+\angle ABD = 180^{\circ}$。
已知$\angle ABD = 100^{\circ}$，所以$\angle 2=180^{\circ}-\angle ABD$。
则$\angle 2 = 180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）$\angle 2 = 80^{\circ}$。

7. （推理能力）[2024 春·眉山期中]如图，已知 $AB // DC$，$AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，点 $E$ 是 $CD$ 上一点，点 $F$ 是 $OD$ 上一点，且 $\angle 1 = \angle A$。
（1）求证：$FE // OC$；
（2）若 $\angle BFE = 110^{\circ}$，$\angle 1 = 60^{\circ}$，求 $\angle B$ 的度数。

答案： 1. （1）证明：
因为$AB// DC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle A=\angle C$。
又因为$\angle 1 = \angle A$，所以$\angle 1=\angle C$。
根据同位角相等，两直线平行，所以$FE// OC$。
2. （2）解：
因为$FE// OC$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle BFE+\angle FOC = 180^{\circ}$。
已知$\angle BFE = 110^{\circ}$，则$\angle FOC=180^{\circ}-\angle BFE = 180 - 110=70^{\circ}$。
所以$\angle AOB=\angle FOC = 70^{\circ}$（对顶角相等）。
因为$\angle 1=\angle A = 60^{\circ}$，在$\triangle AOB$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle AOB = 180^{\circ}$。
则$\angle B=180^{\circ}-\angle A-\angle AOB$。
把$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle AOB = 70^{\circ}$代入可得：$\angle B=180 - 60 - 70=50^{\circ}$。
综上，（1）得证$FE// OC$；（2）$\angle B$的度数为$50^{\circ}$。