《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

9. [2024·宿迁]如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = 50° $, $ \angle C = 30° $, $ AD $ 是高,以点 $ A $ 为圆心、$ AB $ 的长为半径画弧,交 $ AC $ 于点 $ E $, 再分别以 $ B $、$ E $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2} BE $ 的长为半径画弧,两弧在 $ \angle BAC $ 的内部交于点 $ F $, 作射线 $ AF $, 则 $ \angle DAF = $10$ ° $.

答案： 9. 10

10. [2024 春·娄底月考]如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ AC = 10 $, $ BC = 5 $, 线段 $ PQ = AB $, $ P $、$ Q $ 两点分别在 $ AC $ 和过点 $ A $ 且垂直于 $ AC $ 的射线 $ AO $ 上运动,当 $ AP = $5或10时, $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle PQA $ 全等.

答案： 10. 5或10

11. 如图, $ AB = AC $, $ AD = AE $, $ \angle BAC = \angle DAE $, $ \angle 1 = 25° $, $ \angle 2 = 30° $, 则 $ \angle 3 $ 的度数为55°.

答案： 11. 55°

12. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = 6 $, $ AC = 4 $, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线. 若 $ AD $ 的长为偶数,则 $ AD $ 的长为2或4.

答案： 12. 2或4

13. (10 分)[2024 秋·怀仁市校级月考]如图,在四边形 $ ABCD $ 中,对角线 $ AC $、$ BD $ 交于点 $ O $, $ AB = AC $, 点 $ E $ 是 $ BD $ 上一点,且 $ AE = AD $, $ \angle EAD = \angle BAC $.
(1)求证: $ \angle ABD = \angle ACD $;
(2)若 $ \angle ABC = \angle ACB = 65° $, 求 $ \angle BDC $ 的度数.

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle EAD=\angle BAC$，
所以$\angle EAD + \angle BAE=\angle BAC+\angle BAE$，
即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$，
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
所以$\angle ABD=\angle ACD$。
2. （2）解：
因为$\angle ABC=\angle ACB = 65^{\circ}$，
所以$\angle BAC=180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$。
又因为$\angle BDC=\angle DOC-\angle DCO$，且$\angle DOC=\angle BOA$，$\angle ABD=\angle ACD$（已证）。
在$\triangle ABO$中，$\angle BOA = 180^{\circ}-\angle ABD-\angle BAO$。
因为$\angle BAC = 50^{\circ}$，$\angle ABD=\angle ACD$，
所以$\angle BDC=\angle BAC$（利用三角形内角和与对顶角相等）。
所以$\angle BDC = 50^{\circ}$。
综上，（1）得证；（2）$\angle BDC$的度数为$50^{\circ}$。

14. (12 分)[2024 秋·廊坊期末]如图,学校有一块五边形绿地 $ ABCDE $, 测得 $ \angle A = 90° $, $ \angle B $ 与 $ \angle E $ 互补, $ AB = AE $, 分别延长 $ BC $、$ ED $ 交于点 $ F $.
(1)求 $ \angle F $ 的度数;
(2)求证:点 $ A $ 到 $ BC $ 的距离与点 $ A $ 到 $ DE $ 的距离相等.

答案： 1. 求$\angle F$的度数：
解：
因为$\angle B$与$\angle E$互补，所以$\angle B+\angle E = 180^{\circ}$。
在四边形$ABFE$中，根据多边形内角和公式$S=(n - 2)×180^{\circ}$（$n$为边数），这里$n = 4$，则$\angle A+\angle B+\angle F+\angle E=(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$。
已知$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle E = 180^{\circ}$，将其代入上式可得：$90^{\circ}+180^{\circ}+\angle F=360^{\circ}$。
移项可得$\angle F=360^{\circ}-(90^{\circ}+180^{\circ})$，即$\angle F = 90^{\circ}$。
2. 求证：点$A$到$BC$的距离与点$A$到$DE$的距离相等：
证明：
连接$AF$。
因为$\angle B+\angle E = 180^{\circ}$，$\angle FCD+\angle FCB = 180^{\circ}$，$\angle FDC+\angle FDE = 180^{\circ}$，且$\angle F = 90^{\circ}$，$\angle A = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle AEF$中：
已知$AB = AE$，$AF = AF$（公共边）。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle AEF$。
设点$A$到$BC$的距离为$h_1$（即$AB$边上的高），点$A$到$DE$的距离为$h_2$（即$AE$边上的高）。
因为全等三角形对应边上的高相等，所以点$A$到$BC$的距离与点$A$到$DE$的距离相等。
综上，（1）$\angle F = 90^{\circ}$；（2）证明过程如上述。