《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

15. (12 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DBC $ 中, $ \angle ACB = \angle DBC = 90° $, $ E $ 是 $ BC $ 的中点, $ DE \perp AB $, 垂足为点 $ F $, 且 $ AB = DE $. 若 $ DB = 12 $,
(1)求证: $ \triangle ACB \cong \triangle EBD $.
(2)①求 $ AC $ 的长;
②求 $ \triangle DCE $ 的面积.

答案： 1. （1）证明：
因为$DE\perp AB$，所以$\angle BFE = 90^{\circ}$。
在$\triangle BFE$中，$\angle FEB+\angle EBF = 90^{\circ}$，又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC+\angle A=90^{\circ}$。
所以$\angle A=\angle FEB$（同角的余角相等）。
在$\triangle ACB$和$\triangle EBD$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle ACB=\angle DBC\\\angle A = \angle BED\\AB = DE\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ACB\cong\triangle EBD$。
2. （2）①
因为$\triangle ACB\cong\triangle EBD$，所以$AC = EB$，$BC = DB$。
已知$DB = 12$，$E$是$BC$的中点，所以$EB=\frac{1}{2}BC$，又因为$BC = DB = 12$，则$AC=EB=\frac{1}{2}BC = 6$。
3. （2）②
已知$BC = DB = 12$，$E$是$BC$中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC = 6$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$\triangle DCE$，$a = CE$，$h = DB$。
则$S_{\triangle DCE}=\frac{1}{2}× CE× DB$。
把$CE = 6$，$DB = 12$代入可得：$S_{\triangle DCE}=\frac{1}{2}×6×12 = 36$。
综上，（1）已证$\triangle ACB\cong\triangle EBD$；（2）①$AC = 6$；②$S_{\triangle DCE}=36$。

16. (12 分)【初步探索】
(1)如图 1,在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD $, $ \angle B = \angle ADC = 90° $, 点 $ E $、$ F $ 分别是 $ BC $、$ CD $ 上的点,且 $ EF = BE + FD $, 探究图中 $ \angle BAE $、$ \angle FAD $、$ \angle EAF $ 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是:延长 $ FD $ 到点 $ G $, 使 $ DG = BE $, 连结 $ AG $, 先证明 $ \triangle ABE \cong \triangle ADG $, 再证明 $ \triangle AEF \cong \triangle AGF $, 可得出结论,他的结论应该是______________________________.

$\angle BAE+\angle FAD=\angle EAF$

答案： $(1)$ $\angle BAE+\angle FAD=\angle EAF$

(2)如图 2,若在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = AD $, $ \angle B + \angle ADC = 180° $, 点 $ E $、$ F $ 分别是 $ BC $、$ CD $ 上的点,且 $ EF = BE + FD $, 上述结论是否仍然成立? 请说明理由.

答案： 解：上述结论仍然成立。
理由如下：
延长$FD$到点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$。
因为$\angle B+\angle ADC = 180^{\circ}$，$\angle ADC+\angle ADG = 180^{\circ}$，根据“同角的补角相等”，可得$\angle B=\angle ADG$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADG$中，$\begin{cases}AB = AD\\\angle B=\angle ADG\\BE = DG\end{cases}$，根据“$SAS$”（边角边）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ADG$。
所以$AE = AG$，$\angle BAE=\angle DAG$。
因为$EF = BE + FD$，$DG = BE$，所以$EF = DG+FD=GF$。
在$\triangle AEF$和$\triangle AGF$中，$\begin{cases}AE = AG\\EF = GF\\AF = AF\end{cases}$，根据“$SSS$”（边边边）定理，可得$\triangle AEF\cong\triangle AGF$。
所以$\angle EAF=\angle GAF$，又因为$\angle GAF=\angle GAD+\angle FAD$，所以$\angle EAF=\angle BAE+\angle FAD$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{\angle EAF=\angle BAE+\angle FAD}$；$(2)$上述结论仍然成立。