《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

1. 直角三角形的判定
方法：如果三角形的三边长 $a$、$b$、$c$ 有关系$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形，且边 $c$ 所对的角为直角.
说明：该判定方法就是勾股定理的逆定理.

答案： 1. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

例1 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（D）
A.$1$，$2$，$\sqrt{3}$
B.$5$，$4$，$3$
C.$17$，$8$，$15$
D.$2$，$3$，$4$

答案： 【例1】D

例2 如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$、$F$ 分别是边 $BC$、$CD$ 上的点，且 $BE = 2EC$，$FC=\frac{2}{9}DC$，连结 $AE$、$AF$、$EF$. 求证：$\triangle AEF$ 是直角三角形.

答案： 1. 设正方形$ABCD$的边长为$a$：
因为$BE = 2EC$，$BC=a$，所以$BE=\frac{2}{3}a$，$EC=\frac{1}{3}a$；又因为$FC=\frac{2}{9}DC$，$DC = a$，所以$FC=\frac{2}{9}a$，$DF=a - \frac{2}{9}a=\frac{7}{9}a$。
2. 根据勾股定理分别求$AE^{2}$，$AF^{2}$，$EF^{2}$：
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle B = 90^{\circ}$，由勾股定理$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}$，$AB = a$，$BE=\frac{2}{3}a$，则$AE^{2}=a^{2}+(\frac{2}{3}a)^{2}=a^{2}+\frac{4}{9}a^{2}=\frac{9a^{2}+4a^{2}}{9}=\frac{13}{9}a^{2}$。
在$Rt\triangle ADF$中，$\angle D = 90^{\circ}$，由勾股定理$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}$，$AD = a$，$DF=\frac{7}{9}a$，则$AF^{2}=a^{2}+(\frac{7}{9}a)^{2}=a^{2}+\frac{49}{81}a^{2}=\frac{81a^{2}+49a^{2}}{81}=\frac{130}{81}a^{2}$。
在$Rt\triangle ECF$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}$，$EC=\frac{1}{3}a$，$FC=\frac{2}{9}a$，则$EF^{2}=(\frac{1}{3}a)^{2}+(\frac{2}{9}a)^{2}=\frac{1}{9}a^{2}+\frac{4}{81}a^{2}=\frac{9a^{2}+4a^{2}}{81}=\frac{13}{81}a^{2}$。
3. 验证勾股定理逆定理：
计算$AE^{2}+EF^{2}$的值：
$AE^{2}+EF^{2}=\frac{13}{9}a^{2}+\frac{13}{81}a^{2}=\frac{117a^{2}+13a^{2}}{81}=\frac{130}{81}a^{2}$。
因为$AF^{2}=\frac{130}{81}a^{2}$，所以$AE^{2}+EF^{2}=AF^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，在$\triangle AEF$中，若$AE^{2}+EF^{2}=AF^{2}$，则$\triangle AEF$是直角三角形，且$\angle AEF = 90^{\circ}$。所以$\triangle AEF$是直角三角形。

1. 下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（B）
A.$2$，$3$，$4$
B.$3$，$4$，$5$
C.$4$，$5$，$6$
D.$6$，$7$，$8$

答案： 1.B

2. [2024 秋·眉山期中]下列条件中，不能判定 $\triangle ABC$ 是直角三角形的是（D）
A.$a:b:c = 7:25:24$
B.$b^{2}=(a + c)(a - c)$
C.$\angle C=\angle A-\angle B$
D.$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$

答案： 2.D

3. 如图所示的网格是正方形网格，则 $\angle PAB+\angle PBA=$45$^{\circ}$（点 $A$、$B$、$P$ 都在网格线的格点上）.

答案： 3.45

4. 若一个三角形的三边长分别为 $m + 1$，$8$，$m + 5$，当 $m=$4.5时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为 $m + 5$.

答案： 4.5

1. [2023·泸州]《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 $a$、$b$、$c$ 的计算公式：$a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})$，$b = mn$，$c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})$，其中 $m＞n＞0$，$m$、$n$ 是互质的奇数. 下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（C）
A.$3$，$4$，$5$
B.$5$，$12$，$13$
C.$6$，$8$，$10$
D.$7$，$24$，$25$

答案： 1.C

2. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 为边 $BC$ 上的高，$BD = 4$，$DC = 5$，$AD=\sqrt{20}$. 判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由.

答案： 2.$\triangle ABC$是直角三角形.理由略.