《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

教材母题 (教材 P94 定理)
如果一个三角形有两个角相等，那么它就是等腰三角形，即有两个角相等的三角形是等腰三角形。
已知：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。

答案： 解：过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，
$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$（垂直的定义），
$\angle B=\angle C$（已知），
$AD = AD$（公共边），
所以$\triangle ABD\cong\triangle ACD(AAS)$。
根据全等三角形的对应边相等，可得$AB = AC$。
综上，命题得证。

1. 如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，过 BC 的中点 D 作 DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为点 E、F。
(1)求证：DE = DF；
(2)若∠BDE = 55°，求∠BAC 的度数。

答案： 1. （1）
证明：
因为$D$是$BC$的中点，所以$BD = CD$。
又因为$\angle B=\angle C$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$\angle BED=\angle CFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中，$\begin{cases}\angle BED=\angle CFD\\\angle B=\angle C\\BD = CD\end{cases}$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BED\cong\triangle CFD$。
所以$DE = DF$（全等三角形的对应边相等）。
2. （2）
解：
因为$DE\perp AB$，所以$\angle BED = 90^{\circ}$。
已知$\angle BDE = 55^{\circ}$，在$Rt\triangle BED$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle B=180^{\circ}-\angle BED-\angle BDE$。
即$\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$。
因为$\angle B=\angle C = 35^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
所以$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C$。
把$\angle B=\angle C = 35^{\circ}$代入可得$\angle BAC=180^{\circ}-35^{\circ}-35^{\circ}=110^{\circ}$。
综上，（1）得证$DE = DF$；（2）$\angle BAC$的度数为$110^{\circ}$。

2. 在△ABC 中，AB = AC，BM ⊥ AC，垂足为点 M，点 D 在直线 BC 上，DE ⊥ AB，垂足为点 E，DF ⊥ AC，垂足为点 F。
(1)如图 1，点 D 在边 BC 上时，小明同学利用三角形全等知识和图形等面积法发现了 DE、DF、BM 三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系：DE+DF=BM。
(2)如图 2、图 3，当点 D 在 CB 的延长线上或者在 BC 的延长线上时，问题(1)中 DE、DF、BM 三线段之间的数量关系是否还成立？若成立，请选择一个图形进行证明；若不成立，请在图 2 或图 3 中选择一个图形，写出三线段之间的数量关系，并进行证明。

当点D在CB的延长线上时，DF-DE=BM;当点D在BC的延长线上时，DE-DF=BM.

答案： 2
(1)DE+DF=BM
(2)当点D在CB的延长线上时，DF-DE=BM;当点D在BC的延长线上时，DE-DF=BM.