《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

4. 如图，$\angle A = \angle D = 90^{\circ}$，$AB = DF$，$BE = CF$。求证：$\triangle ABC\cong\triangle DFE$。

答案： 证明：
∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = FE。
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
∠A = ∠D = 90°，
AB = DF，
BC = FE，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DFE（HL）。

5. 如图，$AD$是$\triangle ABC$中$BC$边上的中线，延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连结$BE$。求证：$\triangle ACD\cong\triangle EBD$。

答案： 证明：
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ACD和△EBD中，
CD=BD（已证），
∠ADC=∠EDB（对顶角相等），
AD=ED（已知），
∴△ACD≌△EBD（SAS）。

6. 如图，点$D$是$AC$上一点，$AB = DA$，$DE// AB$，$\angle B = \angle DAE$。求证：$\triangle ABC\cong\triangle DAE$。

答案： 根据题意，证明过程如下：
由于 $DE // AB$，
根据平行线的性质，内错角相等，
得：$\angle CAB = \angle EDA$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DAE$中：
$\begin{matrix}AB = DA,\\\angle B=\angle DAE,\\\angle CAB=\angle EDA.\end{matrix}$
根据$ASA$（角边角）全等条件，
$\triangle ABC \cong \triangle DAE$。

7. 如图，$\angle BDC = \angle CEB = 90^{\circ}$，$BE$、$CD$相交于点$O$，且$AO$平分$\angle BAC$。求证：
(1)$\triangle ADO\cong\triangle AEO$；
(2)$\triangle BDO\cong\triangle CEO$。

答案： （1）
∵AO平分∠BAC，
∴∠DAO=∠EAO。
∵∠BDC=∠CEB=90°，
∴CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°。
在△ADO和△AEO中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DAO=∠EAO,\\ ∠ADO=∠AEO,\\ AO=AO,\end{array}\right.$
∴△ADO≌△AEO（AAS）。
（2）由（1）知△ADO≌△AEO，
∴DO=EO。
∵∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠BDO=∠CEO=90°。
在△BDO和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BDO=∠CEO,\\ DO=EO,\\ ∠BOD=∠COE,\end{array}\right.$
∴△BDO≌△CEO（ASA）。