《2025年全效学习学业评价方案八年级数学上册华师大版》

4. 如图 1，$ AC = BC $，$ CD = CE $，$ \angle ACB = \angle DCE = \alpha $，$ AD $、$ BE $ 相交于点 $ M $，连结 $ CM $。
(1) 求证：$ BE = AD $；
(2) 用含 $ \alpha $ 的式子表示 $ \angle AMB $ 的度数(直接写出结果)；
(3) 当 $ \alpha = 90^{\circ} $ 时，取 $ AD $、$ BE $ 的中点，分别记为点 $ P $、$ Q $，连结 $ CP $、$ CQ $、$ PQ $，如图 2，判断 $ \triangle CPQ $ 的形状，并加以证明。

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle ACB=\angle DCE = \alpha$，所以$\angle ACB+\angle BCD=\angle DCE+\angle BCD$，即$\angle ACD=\angle BCE$。
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACD=\angle BCE\\CD = CE\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ACD\cong\triangle BCE$。
由全等三角形的性质可知$BE = AD$。
2. （2）
由$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，可得$\angle CAD=\angle CBE$。
在$\triangle ACM$和$\triangle BCM$中，$\angle AMB = 180^{\circ}-(\angle CAB+\angle CBA)$。
因为$\angle CAB+\angle CBA=180^{\circ}-\angle ACB$，$\angle ACB=\alpha$，所以$\angle AMB=\alpha$。
3. （3）
$\triangle CPQ$是等腰直角三角形。
证明：
因为$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$AD = BE$，$\angle CAD=\angle CBE$。
又因为$P$是$AD$中点，$Q$是$BE$中点，所以$AP=\frac{1}{2}AD$，$BQ=\frac{1}{2}BE$，则$AP = BQ$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BCQ$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle CAD=\angle CBE\\AP = BQ\end{cases}$。
根据$SAS$定理，$\triangle ACP\cong\triangle BCQ$。
所以$CP = CQ$，$\angle ACP=\angle BCQ$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle ACP+\angle PCB = 90^{\circ}$，所以$\angle BCQ+\angle PCB = 90^{\circ}$，即$\angle PCQ = 90^{\circ}$。
所以$\triangle CPQ$是等腰直角三角形。
综上，（1）已证$BE = AD$；（2）$\angle AMB=\alpha$；（3）$\triangle CPQ$是等腰直角三角形。

5. [2024 秋·山西月考]如图 1，$ CA \perp AB $，垂足为点 $ A $，$ DB \perp AB $，垂足为点 $ B $，$ P $、$ Q $ 分别为线段 $ AB $、$ BD $ 上任意一点。
(1) 如图 1，若 $ \angle CPQ = 90^{\circ} $，$ CP = PQ $，求 $ AC $、$ BQ $、$ AB $ 之间的数量关系。
(2) 如图 2，将“$ CA \perp AB $，$ DB \perp AB $”改为“$ \angle A = \angle B = \alpha $（$ \alpha $ 为锐角）”。若 $ \angle CPQ = \alpha $，$ CP = PQ $，判断(1)中的数量关系是否会改变，并说明理由。

答案： 1. （1）
解：
因为$CA\perp AB$，$DB\perp AB$，$\angle CPQ = 90^{\circ}$，所以$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，$\angle ACP+\angle APC = 90^{\circ}$，$\angle APC+\angle BPQ = 90^{\circ}$。
根据同角的余角相等，可得$\angle ACP=\angle BPQ$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BPQ$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B\\\angle ACP=\angle BPQ\\CP = PQ\end{array}\right.$。
所以$\triangle ACP\cong\triangle BPQ(AAS)$。
则$AC = BP$，$AP = BQ$。
又因为$AB=AP + BP$，所以$AB=AC + BQ$。
2. （2）
解：
数量关系不变，$AB = AC+BQ$。
理由：
因为$\angle A=\angle B=\alpha$，$\angle CPQ=\alpha$，$\angle APC=\angle B+\angle BQP$（三角形外角性质），即$\angle APC=\alpha+\angle BQP$，$\angle APC=\angle ACP+\angle CPQ$，$\angle CPQ=\alpha$，所以$\angle ACP+\alpha=\alpha+\angle BQP$。
可得$\angle ACP=\angle BQP$。
在$\triangle ACP$和$\triangle BPQ$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B\\\angle ACP=\angle BQP\\CP = PQ\end{array}\right.$。
所以$\triangle ACP\cong\triangle BPQ(AAS)$。
则$AC = BP$，$AP = BQ$。
又因为$AB=AP + BP$，所以$AB=AC + BQ$。
综上，（1）$AB = AC + BQ$；（2）数量关系不变，理由如上述。